fc2ブログ

Welcome to my blog

[答1608] 複素平面上の三角形

ヤドカリ

ヤドカリ

P5150818.jpg



[答1608] 複素平面上の三角形


 |α|=1 ,4α+2β+7γ=0 ,7/α+14/β+4/γ=0 を満たす複素数 α,β,γ を

 複素平面上にとるとき、この3点を頂点とする三角形の面積は?


[解答1]

 4α+2β+7γ=0 の両辺を2乗し、16α2+4β2+49γ2+28βγ+56γα+16αβ=0 、

 16α2+4β2+49γ2+4αβγ(7/α+14/β+4/γ)=0 、4β2+49γ2=-16α2 です。

 2β+7γ=-4α の両辺を2乗し、4β2+28βγ+49γ2=16α2 、28βγ-16α2=16α2

 14βγ=16α2 になります。

 よって、xの2次方程式 x2+4αx+16α2=0 の解が x=2β,7γ になります。

 (x/α)2+4(x/α)+16=0 、x/α=-2±2i√3=4(cos120゚±i・sin120゚) 、

 2β/α=4(cos120゚±i・sin120゚) ,7γ/α=4(cos120゚∓i・sin120゚) 、

 β/α=2(cos120゚±i・sin120゚) ,γ/α=(4/7)(cos120゚∓i・sin120゚) 、

 βは αを0の周りに 左回りまたは右回りに 120゚回転し 0との距離を 2 倍にした位置、

 γは αを0の周りに βと逆に 120゚回転し 0との距離を 4/7 倍にした位置ですので、

 |β|=2|α|=2 ,|γ|=(4/7)|α|=4/7 です。

 よって、求める面積は、

 (1/2)|β||γ|sin120゚+(1/2)|γ||α|sin120゚+(1/2)|α||β|sin120゚=(1/2)(|β||γ|+|γ||α|+|α||β|)sin120゚

  =(1/2)(8/7+4/7+2)sin120゚=(13√3)/14=1.60833…… です。

1608-参考図
[解答2]

 7/α+14/β+4/γ=0 より 7βγ+14γα+4αβ=0 、2β・7γ+7γ・4α+4α・2β=0 だから、

 4α・2β・7γ=δ とおけば、4α,2β,7γ は z3-δ=0 の解、つまり δ の3乗根、

 よって、0を中心とする(半径が 3√|δ| の)円周を3等分し、

 |4α|=|2β|=|7γ| ,|α|=1 だから |β|=2 ,|γ|=4/7 です。

 よって、求める面積は、

 (1/2)|β||γ|sin120゚+(1/2)|γ||α|sin120゚+(1/2)|α||β|sin120゚=(1/2)(|β||γ|+|γ||α|+|α||β|)sin120゚

  =(1/2)(8/7+4/7+2)sin120゚=(13√3)/14=1.60833…… です。

.
スポンサーサイト



Comments 2

There are no comments yet.
スモークマン  
グーテンアーベント ^^

[解答2]
麗しい解法ですね☆
勉強になりました♪
気づけなくて残念です ^^;
どうも...複素数と聞いただけで考えることを放棄・怖気付いてしまいます...^^;;

ヤドカリ
ヤドカリ  
Re: グーテンアーベント ^^

スモークマンさん、コメントをありがとうございます。
複素数平面も面白いと思います。
基本問題以外は、工夫の必要がありますが。