[答1614] 関数値が常に正
[答1614] 関数値が常に正
aを実定数、f(x)=ax2-9ax+14a+1 とします。
(1) すべての実数xについて 常に f(x)>0 であるような aの範囲は?
(2) 1<x<3 において 常に f(x)>0 であるような aの範囲は?
[解答]
(1) すべての実数xについて 常に正の値をとるのは、
a=0 のとき f(x)=1 だから すべての実数xについて 常に正の値をとります。
a≠0 のとき f(x)は2次関数ですので、a>0 かつ 判別式<0 のときで、
判別式=(9a)2-4a(14a+1)<0 、a(25a-4)<0 、0<a<4/25 です。
よって、0≦a<4/25 です。
(2) f(x)=ax2-9ax+14a+1=a(x-9/2)2-25a/4+1 です。
a=0 のとき 定数、a≠0 のとき 1≦x≦3 において f(x) は単調(増加or減少)だから、
f(1)≧0 かつ f(3)≧0 であれば、1<x<3 において 常に f(x)>0 です。
よって、f(1)=6a+1≧0 、a≧-1/6 、f(3)=-4a+1≧0 、a≦1/4 であり、
-1/6≦a≦1/4 です。
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