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[1305] 長方形内の三角形の面積

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[1305] 長方形内の三角形の面積


 長方形ABCDの 辺BC上に点Pがあり、線分AP上にQがあります。

 △ABQ=90 ,△QBP=60 ,△QPC=27 であるとき、△QDA=?

1305-長方形内三角形0


★ コメントをお待ちしています(解答だけでも構いませんが、解き方も示されていると有難いです)。

★ 解答は、後日発表します。
















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[答1303] メビウスの輪と三角形

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[答1303] メビウスの輪と三角形


 幅が 2 ,長さが L の長方形でメビウスの輪を作り、図のように折って内側に三角形を作ります。

 この三角形の面積が 195/4 ,内接円の半径が 3 のとき、L=?

 なお、メビウスの輪を作るときの糊代は考えないものとする。


[解答1]

1303-メビウス
 図のように、内側の三角形を △ABC ,外側の辺を延長して作った三角形を △PQR とすれば、

 メビウスの輪を折って重なる部分とメビウスの輪と△PQRの隙間の面積が等しいので、

 △PQR と △ABC の間の部分は、幅が 2 ,長さが L の長方形と面積が等しくなります。

 また、△PQR∽△ABC で、相似比は 内接円の半径の比で 5:3 、面積比は △PQR:△ABC=25:9 、

 (△PQR-△ABC):△ABC=16:9 、△PQR-△ABC=(16/9)△ABC=(16/9)(195/4)=260/3 です。

 2L=△PQR-△ABC=260/3 、L=130/3 です。


[解答2] スモークマン様のコメントより

 折り目の中点3個を頂点とする三角形は 内接円の半径が 4 ,周囲の長さが L です。

 また、内側の三角形と相似で、相似比が 3:4 だから、その面積は、

 4L/2=(195/4)(4/3)2 、L=130/3 です。


☆ 内側の三角形の例として、3辺が 41/4,39/4,25/2 のものがあります。

☆ 紙の幅を d ,三角形の面積を S ,内接円の半径を r とすれば、

  長さは (2r+d)S/r2 です。

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[1304] 小町数の比

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[1304] 小町数の比


 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 を1つずつ使って 3桁の自然数 a,b と4桁の自然数 c を作り、

 a:b:c=2:3:4 にするとき、(a,b,c)=?



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★ 解答は、後日発表します。
















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[答1302] 辺や対角線でできる三角形

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[答1302] 辺や対角線でできる三角形


 正方形と2本の対角線でできる図には、正方形の頂点3個を頂点とする三角形が4個、

 対角線の交点と正方形の頂点2個を頂点とする三角形が4個の 計8個の三角形があります。

 では、正九角形とその対角線27本でできる図にある三角形の個数は?

1302-三角形の数


[解答]

 正九角形の頂点 m 個と 対角線の交点 n 個を頂点とする三角形を mn-type ということにします。

 正九角形の対角線は3本以上が同じ点で交わりません。

 30-type は、93=84 個あります。

 21-type は、正九角形の4個の頂点に対して4個できますので、4・94=504 個あります。

 12-type は、5個の頂点を選んで、1つの点から左回りに A,B,C,D,E とすれば、

 対角線 AC,CE,BD で 1個の三角形ができますので、5・94=630 個あります。

 03-type は、正九角形の6個の頂点に対して1個できますので、96=84 個あります。

 従って、84+504+630+84=1302 個の三角形があることになります。

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[1303] メビウスの輪と三角形

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[1303] メビウスの輪と三角形


 幅が 2 ,長さが L の長方形でメビウスの輪を作り、図のように折って内側に三角形を作ります。

 この三角形の面積が 195/4 ,内接円の半径が 3 のとき、L=?

 なお、メビウスの輪を作るときの糊代は考えないものとします。1303-メビウス0



★ 解答説明は こちら です。

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プロフィール

ヤドカリ

Author:ヤドカリ
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散歩,草花,算数・数学,やどかりが好きな市井人です。
ブログの更新・コメントは原則として朝晩に行いますが、都合で時間を取れず、
リコメが遅くなったらご容赦ください。

このブログは、2009年8月21日に始めた Yahoo! ブログで、数学(算数)の問題の出題と解答説明をしていましたが、Yahoo! ブログの閉鎖のため、1300問になったのを機に引っ越してきたものです。そのため、問題に書かれている解答へのリンクが Yahoo! のままです。
週2回、火曜日と土曜日に出題し、6日後の月曜日と金曜日に解答をアップしています。数学だけでは殺風景ですので、花の写真も載せています。
どうぞよろしくお付き合いをお願い申し上げます。

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