[1305] 長方形内の三角形の面積
長方形ABCDの 辺BC上に点Pがあり、線分AP上にQがあります。
△ABQ＝90 ，△QBP＝60 ，△QPC＝27 であるとき、△QDA＝？
★ コメントをお待ちしています(解答だけでも構いませんが、解き方も示されていると有難いです)。
★ 解答は、後日発表します。
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[答1303] メビウスの輪と三角形
幅が 2 ，長さが L の長方形でメビウスの輪を作り、図のように折って内側に三角形を作ります。
この三角形の面積が 195/4 ，内接円の半径が 3 のとき、L＝？
なお、メビウスの輪を作るときの糊代は考えないものとする。
[解答1]
図のように、内側の三角形を △ABC ，外側の辺を延長して作った三角形を △PQR とすれば、
メビウスの輪を折って重なる部分とメビウスの輪と△PQRの隙間の面積が等しいので、
△PQR と △ABC の間の部分は、幅が 2 ，長さが L の長方形と面積が等しくなります。
また、△PQR∽△ABC で、相似比は 内接円の半径の比で 5：3 、面積比は △PQR：△ABC＝25：9 、
(△PQR－△ABC)：△ABC＝16：9 、△PQR－△ABC＝(16/9)△ABC＝(16/9)(195/4)＝260/3 です。
2L＝△PQR－△ABC＝260/3 、L＝130/3 です。
[解答2] スモークマン様のコメントより
折り目の中点３個を頂点とする三角形は 内接円の半径が 4 ，周囲の長さが L です。
また、内側の三角形と相似で、相似比が 3：4 だから、その面積は、
4L/2＝(195/4)(4/3)
2 、L＝130/3 です。
☆ 内側の三角形の例として、３辺が 41/4，39/4，25/2 のものがあります。
☆ 紙の幅を d ，三角形の面積を S ，内接円の半径を r とすれば、
長さは (2r＋d)S/r
2 です。
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[1304] 小町数の比
0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 を１つずつ使って ３桁の自然数 a，b と４桁の自然数 c を作り、
a：b：c＝2：3：4 にするとき、(a，b，c)＝？
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[答1302] 辺や対角線でできる三角形
正方形と２本の対角線でできる図には、正方形の頂点３個を頂点とする三角形が４個、
対角線の交点と正方形の頂点２個を頂点とする三角形が４個の 計８個の三角形があります。
では、正九角形とその対角線27本でできる図にある三角形の個数は？
[解答]
正九角形の頂点 m 個と 対角線の交点 n 個を頂点とする三角形を mn-type ということにします。
正九角形の対角線は３本以上が同じ点で交わりません。
30-type は、
9Ｃ
3＝84 個あります。
21-type は、正九角形の４個の頂点に対して４個できますので、4･
9Ｃ
4＝504 個あります。
12-type は、５個の頂点を選んで、１つの点から左回りに A，B，C，D，E とすれば、
対角線 AC，CE，BD で １個の三角形ができますので、5･
9Ｃ
4＝630 個あります。
03-type は、正九角形の６個の頂点に対して１個できますので、
9Ｃ
6＝84 個あります。
従って、84＋504＋630＋84＝1302 個の三角形があることになります。
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[1303] メビウスの輪と三角形
幅が 2 ，長さが L の長方形でメビウスの輪を作り、図のように折って内側に三角形を作ります。
この三角形の面積が 195/4 ，内接円の半径が 3 のとき、L＝？
なお、メビウスの輪を作るときの糊代は考えないものとします。
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こちら です。
