[答1301] 格子点の個数
[答1301] 格子点の個数
座標が全部整数である点を格子点といいます。
(1) xy平面において、領域 |x|＋|y|≦25 にある格子点の個数は？
(2) xyz空間において、領域 |x|＋|y|＋|z|≦25 にある格子点の個数は？
[解答1]
ｋを自然数として、|x|＋|y|＝k の格子点は、
(0，k)，(1，k－1)，(2，k－2)，……，(k－1，1)，(k，0) と、
その符号を変えたものだから、2＋4(k－1)＋2＝4k 個、
ｎを自然数として、|x|＋|y|≦n の格子点は、
|x|＋|y|＝k (k＝1，2，……，n) と (0，0) だから、4･n(n＋1)/2＋1＝2n(n＋1)＋1 個です。
よって、xy平面において、領域 |x|＋|y|≦25 にある格子点の個数は 2･25･26＋1＝1301 です。
ｋを自然数として、|x|＋|y|＋|z|＝k の格子点は、
z≧0 のとき ｚ座標を無視すれば |x|＋|y|≦k の格子点と同じ 2k(k＋1)＋1 個、
z≦0 のときも同数の 2k(k＋1)＋1 個、z＝0 の場合は重複しており、それは、
(0，k，0)，(1，k－1，0)，(2，k－2，0)，……，(k－1，1，0)，(k，0，0) の 4k個、
よって、2｛2k(k＋1)＋1｝－4k＝4k(k＋1)＋2－4k＝4k2＋2 個、
ｎを自然数として、|x|＋|y|＋|z|≦n の格子点は、
|x|＋|y|＋|z|＝k (k＝1，2，……，n) と (0，0，0) だから、
4･n(n＋1)(2n＋1)/6＋2n＋1＝2n(n＋1)(2n＋1)/3＋2n＋1 個です。
xyz空間において、領域 |x|＋|y|＋|z|≦25 にある格子点の個数は 2･25･26･51/3＋51＝22151 です。
[解答2]
ｎを自然数として、|x|＋|y|≦n のとき、|x|≦n－|y| 、
これを満たす整数 x は 2(n－|y|)＋1＝(2n＋1)－2|y| 個あって、
y＝－n から y＝n までを加えると、(2n＋1)(2n＋1)－2･n(n＋1)＝2n(n＋1)＋1 です。
よって、xy平面において、領域 |x|＋|y|≦25 にある格子点の個数は 2･25･26＋1＝1301 です。
ｎを自然数として、|x|＋|y|＋|z|≦n のとき、|x|＋|y|≦n－|z| 、
これを満たす整数 x，y は 2(n－|z|)(n－|z|＋1)＋1＝2n(n＋1)＋1－2(2n＋1)|z|＋2|z|2 個あって、
z＝－n から z＝n までを加えると、
2n(n＋1)(2n＋1)＋(2n＋1)－2(2n＋1)･n(n＋1)＋2･n(n＋1)(2n＋1)/3
＝2n(n＋1)(2n＋1)/3＋(2n＋1) です。
xyz空間において、領域 |x|＋|y|＋|z|≦25 にある格子点の個数は 2･25･26･51/3＋51＝22151 です。
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