[答1311] 交わらない対角線

[答1311] 交わらない対角線


　凸23角形の対角線は何本？　そのうちの交わらない２本の選び方は何通り？

　「交わらない」は、凸23角形の内部または頂点で交わらないことを意味します。


[解答1]

　一般化して凸ｎ角形で考えます。

　対角線は１つの頂点において (n－3)本あり、頂点はｎ個、同じ対角線を２回数えるので、

　n(n－3)/2 本です。

　そのうちの２本の選び方は、

　_n(n-3)/2Ｃ₂＝｛n(n－3)/2｝｛n(n－3)/2－1｝/2＝n(n－3)(n²－3n－2)/8 通り、

　頂点で交わる２本の選び方は、

　n･_n-3Ｃ₂＝n(n－3)(n－4)/2 通り、

　内部で交わる２本の選び方は、頂点４個に対して１通りあるので、

　_nＣ₄＝n(n－1)(n－2)(n－3)/24 通りだから、

　交わらない２本の選び方は、

　n(n－3)(n²－3n－2)/8－n(n－3)(n－4)/2－n(n－1)(n－2)(n－3)/24

　＝n(n－3)｛3(n²－3n－2)－12(n－4)－(n－1)(n－2)｝/24

　＝n(n－3)(3n²－9n－6－12n＋48－n²＋3n－2)/24

　＝n(n－3)(2n²－18n＋40)/24＝n(n－3)(n²－9n＋20)/12

　＝n(n－3)(n－4)(n－5)/12 通りです。

　n＝23 のとき、23(23－3)/2＝230 本 、23(23－3)(23－4)(23－5)/12＝13110 通りです。


[解答2]

　一般化して凸ｎ角形で考えます。

　２つの頂点を結ぶと 辺か対角線なので、対角線は

　_nＣ₂－n＝n(n－1)/2－n＝n(n－3)/2 本です。

　頂点のうち４つを左回りにA，B，C，Dをとり、対角線AB，CDが交わらないものとします。

　Aの決め方が n通り、Aから左回りに凸ｎ角形の頂点に１からｎまでの番号をつけると、

　B，C，Dは３からｎまでの中から３つを C，Dが隣り合わないようにとることになります。

　３から n－1 の中から３つを選び、

　小さい２つの番号を B，C とし、最大の番号に１を加えたものを D にすれば条件を満たします。

　ただし、２本の選び方は同じものを２回ずつ数えることになるので、

　n･_n-3Ｃ₃/2＝n(n－3)(n－4)(n－5)/12 通りです。

　n＝23 のとき、23(23－3)/2＝230 本 、23(23－3)(23－4)(23－5)/12＝13110 通りです。

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