[答1315] 内接円の半径と三角形の辺の長さ
[答1315] 内接円の半径と三角形の辺の長さ
△ABCの頂点Aから辺BCにおろした垂線をAHとします。
△ABH，△AHC，△ABC の内接円の半径がそれぞれ 2，3，4 のとき、AB＝？ また、AC＝？
[解答1]
AH＝a ，BH＝b ，CH＝c ，AB＝x ，AC＝y とします。
多角形では 内接円の半径と周囲の長さの積が面積の２倍になりますので、
2(a＋b＋x)＝ab ，3(a＋c＋y)＝ac ，4(b＋c＋x＋y)＝ab＋ac です。
b＋x＝ab/2－a ，c＋y＝ac/3－a として 4(b＋c＋x＋y)＝ab＋ac に代入すれば、
4(ab/2－a＋ac/3－a)＝ab＋ac 、4(b/2－1＋c/3－1)＝b＋c 、b＝8－c/3 です。
また、三平方の定理より x2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab ，y2＝a2＋c2＝(a＋c)2－2ac で、
x＝ab/2－(a＋b) を２乗して、(a＋b)2－2ab＝a2b2/4－ab(a＋b)＋(a＋b)2 、
－2ab＝a2b2/4－ab(a＋b) 、－2＝ab/4－(a＋b) 、a(b/4－1)＝b－2 、
a(2－c/12－1)＝8－c/3－2 、a(1－c/12)＝6－c/3 になり、
y＝ac/3－(a＋c) を２乗して、(a＋c)2－2ac＝a2c2/9－2ac(a＋c)/3＋(a＋c)2 、
－2ac＝a2c2/9－2ac(a＋c)/3 、－6＝ac/3－2(a＋c) 、a(c/3－2)＝2c－6 になります。
a(1－c/12)＝6－c/3 ，2c－6＝a(c/3－2) を辺々乗じて、a(1－c/12)(2c－6)＝a(c/3－2)(6－c/3) 、
c/3＝t とおけば、(1－t/4)(6t－6)＝(t－2)(6－t) 、3(4－t)(t－1)＝2(t－2)(6－t) 、
－3t2＋15t－12＝－2t2＋16t－24 、t2＋t－12＝0 、(t－3)(t＋4)＝0 、t＞0 より t＝3 、
b＝8－c/3＝8－t＝5 ，c＝3t＝9 、a(c/3－2)＝2c－6 より a(3－2)＝2･9－6 、a＝12 になり、
x＝ab/2－(a＋b)＝12･5/2－(12＋5)＝13 ，y＝ac/3－(a＋c)＝12･9/3－(12＋9)＝15 です。
AB＝x＝13 ，AC＝y＝15 です。
[解答2]
AH＝h，BH＝x，CH＝y とします。
AB＝AH＋BH－2･2＝h＋x－4 、AB2＝AH2＋BH2 より (h＋x－4)2＝h2＋x2 、2hx－8h－8x＋16＝0 、
(h－4)(x－4)＝8 、x＝8/(h－4)＋4 で、
AC＝AH＋CH－2･3＝h＋y－6 、AC2＝AH2＋CH2 より (h＋y－6)2＝h2＋y2 、2hx－12h－12y＋36＝0 、
(h－6)(y－6)＝18 、y＝18/(h－6)＋6 です。
次に、内接円の半径を使って、△ABH＋△ACH＝△ABC だから、
2(AB＋BH＋AH)/2＋3(AC＋CH＋AH)/2＝4(AB＋AC＋BC)/2 、2(x＋h－2)＋3(y＋h－3)＝4(x＋y＋h－5) 、
h＋7＝2x＋y 、h＋7＝16/(h－4)＋8＋18/(h－6)＋6 、h－7＝16/(h－4)＋18/(h－6) 、
(h－7)(h－4)(h－6)＝16(h－6)＋18(h－4) 、h3－17h2＋94h－168＝16h－96＋18h－72 、
h3－17h2＋60h＝0 、h(h－5)(h－12)＝0 、h＞2･4 だから h＝12 になり、
x＝8/(h－4)＋4＝5 ，y＝18/(h－6)＋6＝9 、AB＝h＋x－4＝13 ，AC＝h＋y－6＝15 です。
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