[答1318] 四角形の面積の５等分
[答1318] 四角形の面積の５等分
四角形ABCDの 辺BC上に Bに近い方から 点P，点Q をとり、辺AD上に 点R をとって、
線分AP，線分PR，線分RQ，線分QD で分けると、面積が５等分されました。
AR：RD＝8：13 のとき BP：PQ：QC＝？
[解答1]
右上図のように、三角形の辺を a：m：n ，b：p：q に分ける点を結んで、
水色で示される４個の三角形の面積が等しくなるようにします。
ab ，a(b＋p) ，(a＋m)(b＋p) ，(a＋m)(b＋p＋q) ，(a＋m＋n)(b＋p＋q) は等差数列になるので、
公差は ap＝m(b＋p)＝(a＋m)q＝n(b＋p＋q) となります。
ap＝(a＋m)q より a(p－q)＝mq 、n(b＋p＋q)＝m(b＋p) より nq＝(b＋p)(m－n) になり、
ap＝m(b＋p) より ap(p－q)(m－n)＝m(b＋p)(p－q)(m－n) だから、
a(p－q)＝mq ，nq＝(b＋p)(m－n) を代入して、
mpq(m－n)＝mnq(p－q) 、p(m－n)＝n(p－q) 、mp－np＝np－nq 、
mp＝n(2p－q) とすれば n：m＝p：(2p－q) 、
qn＝p(2n－m) とすれば p：q＝n：(2n－m) になります。
四角形BQDAに適用して、BP：PQ＝13：(2･13－8)＝13：18 、
四角形CPDAに適用して、CQ：QP＝8：(2･8－13)＝8：3＝48：18 、
よって、BP：PQ：QC＝13：18：48 です。
[解答2] スモークマンさんのコメントを参考に
右下図のように、比を 右から m：n ，p：q とし、水色の４個の三角形の面積を S とします。
緑の部分の面積は (m/n)S＋(q/p)S＝2S ですので、m/n＋q/p＝2 になります。
( m/n＋q/p＝2 の m/n ，q/p 分子は緑の部分です )
よって、四角形ABQDに着目すれば、QP/PB＋8/13＝2 、QP/PB＝18/13 、BP/PQ＝13/18 であり、
四角形PCDAに着目すれば、PQ/QC＋13/8＝2 、PQ/QC＝3/8＝18/48 だから、
BP：PQ：QC＝13：18：48 です。
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