[答337] 五角形の残りの辺の長さ
[答337] 五角形の残りの辺の長さ
図のように、五角形ABCDEがあり、AB=AE=37,BC+DE=CD=40,∠A=∠C=∠D=120゚ です。
このとき、辺BC,辺DE の長さは?
[解答1]
BC,EDの延長の交点をFとすると、△CFDは正三角形になります。
△FBE,△ABEで、余弦定理により、BE2 は、
(40+BC)2+(40+DE)2-2(40+BC)(40+DE)cos60゚=372+372-2・372cos120゚ 、
1600+40(BC+DE)+BC2+DE2-BC・DE=4107 、
1600+40・40+(BC+DE)2-3・BC・DE=4107 、3200+402-3・BC・DE=4107 、
BC・DE=231 になります。
BC+DE=40 だから、BC,DE は、x2-40x+231=0 の解となって、
(x-7)(x-33)=0 、x=7,33 だから、(BC,DE)=(33,7),(7,33) になります。
[解答2]
五角形の内角の和は 540゚ より、∠B+∠E=180゚ です。
CBの延長上に CP=40 である点Pをとれば、2辺夾角相等より、△APB≡△ADE になります。
CP=CD=40,∠PCD=∠DAP=120゚ ですので、P,A,D は C を中心とする半径 40 の円周上にあり、
AP=AD だから、△APC,△ACDはともに1辺が 40 の正三角形になります。
△APBで、PB=x とすれば、余弦定理により、
372=x2+402-2・x・40・cos60゚ 、
x2-40x+231=0 、(x-7)(x-33)=0 、x=7,33 です。
BC=40-x,DE=x ですので、(BC,DE)=(33,7),(7,33) になります。
[解答3]
[解答2]と同様にして、PCの中点をMとすれば、AM=20√3 です。
BM=√(AB2-AM2)=√(372-202・3)=13 です。
よって、(BC,BP)=(20+13,20-13),(20-13,20+13)=(33,7),(7,33) になります。
[参考]
△ACDは正三角形ですが、以下の理由でも言えます。
☆ uch*n*anさんより、3個合わせると正六角形になるから。
☆ ふじもさんより、CD上に CF=CB (DF=DE) となる点Fをとれば、△BFEについて、
ナポレオンの定理( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-368.html )を使って。