[答337] 五角形の残りの辺の長さ

[答337] 五角形の残りの辺の長さ


　図のように、五角形ABCDEがあり、AB＝AE＝37，BC＋DE＝CD＝40，∠A＝∠C＝∠D＝120ﾟ です。

　このとき、辺BC，辺DE の長さは？


[解答1]

　BC，EDの延長の交点をFとすると、△CFDは正三角形になります。

　△FBE，△ABEで、余弦定理により、BE² は、

　(40＋BC)²＋(40＋DE)²－2(40＋BC)(40＋DE)cos60ﾟ＝37²＋37²－2･37²cos120ﾟ 、

　1600＋40(BC＋DE)＋BC²＋DE²－BC･DE＝4107 、

　1600＋40･40＋(BC＋DE)²－3･BC･DE＝4107 、3200＋40²－3･BC･DE＝4107 、

　BC･DE＝231 になります。

　BC＋DE＝40 だから、BC，DE は、x²－40x＋231＝0 の解となって、

　(x－7)(x－33)＝0 、x＝7，33 だから、(BC，DE)＝(33，7)，(7，33) になります。


[解答2]

　五角形の内角の和は 540ﾟ より、∠B＋∠E＝180ﾟ です。

　CBの延長上に CP＝40 である点Pをとれば、２辺夾角相等より、△APB≡△ADE になります。

　CP＝CD＝40，∠PCD＝∠DAP＝120ﾟ ですので、P，A，D は C を中心とする半径 40 の円周上にあり、

　AP＝AD だから、△APC，△ACDはともに１辺が 40 の正三角形になります。

　△APBで、PB＝x とすれば、余弦定理により、

　37²＝x²＋40²－2･x･40･cos60ﾟ 、

　x²－40x＋231＝0 、(x－7)(x－33)＝0 、x＝7，33 です。

　BC＝40－x，DE＝x ですので、(BC，DE)＝(33，7)，(7，33) になります。


[解答3]

　[解答2]と同様にして、PCの中点をMとすれば、AM＝20√3 です。

　BM＝√(AB²－AM²)＝√(37²－20²･3)＝13 です。

　よって、(BC，BP)＝(20＋13，20－13)，(20－13，20＋13)＝(33，7)，(7，33) になります。


[参考]

　△ACDは正三角形ですが、以下の理由でも言えます。

　☆ uch*n*anさんより、３個合わせると正六角形になるから。

　☆ ふじもさんより、CD上に CF＝CB (DF＝DE) となる点Fをとれば、△BFEについて、

　 ナポレオンの定理( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-368.html )を使って。