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[答337] 五角形の残りの辺の長さ

ヤドカリ

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[答337] 五角形の残りの辺の長さ


 図のように、五角形ABCDEがあり、AB=AE=37,BC+DE=CD=40,∠A=∠C=∠D=120゚ です。

 このとき、辺BC,辺DE の長さは?


[解答1]

 BC,EDの延長の交点をFとすると、△CFDは正三角形になります。

 △FBE,△ABEで、余弦定理により、BE2 は、

 (40+BC)2+(40+DE)2-2(40+BC)(40+DE)cos60゚=372+372-2・372cos120゚ 、

 1600+40(BC+DE)+BC2+DE2-BC・DE=4107 、

 1600+40・40+(BC+DE)2-3・BC・DE=4107 、3200+402-3・BC・DE=4107 、

 BC・DE=231 になります。

 BC+DE=40 だから、BC,DE は、x2-40x+231=0 の解となって、

 (x-7)(x-33)=0 、x=7,33 だから、(BC,DE)=(33,7),(7,33) になります。


[解答2]

 五角形の内角の和は 540゚ より、∠B+∠E=180゚ です。

 CBの延長上に CP=40 である点Pをとれば、2辺夾角相等より、△APB≡△ADE になります。

 CP=CD=40,∠PCD=∠DAP=120゚ ですので、P,A,D は C を中心とする半径 40 の円周上にあり、

 AP=AD だから、△APC,△ACDはともに1辺が 40 の正三角形になります。

 △APBで、PB=x とすれば、余弦定理により、

 372=x2+402-2・x・40・cos60゚ 、

 x2-40x+231=0 、(x-7)(x-33)=0 、x=7,33 です。

 BC=40-x,DE=x ですので、(BC,DE)=(33,7),(7,33) になります。


[解答3]

 [解答2]と同様にして、PCの中点をMとすれば、AM=20√3 です。

 BM=√(AB2-AM2)=√(372-202・3)=13 です。

 よって、(BC,BP)=(20+13,20-13),(20-13,20+13)=(33,7),(7,33) になります。


[参考]

 △ACDは正三角形ですが、以下の理由でも言えます。

 ☆ uch*n*anさんより、3個合わせると正六角形になるから。

 ☆ ふじもさんより、CD上に CF=CB (DF=DE) となる点Fをとれば、△BFEについて、

  ナポレオンの定理( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-368.html )を使って。

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Comments 17

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アキチャン  
No title

おはようございます。。
観たことがあるな、と思いながら出てきませんが、
かわいいピンク色のお花ですね (o^-^o) ポチ♪

いっちゃん  
No title

おはようございます^^
今朝は少し寒く感じます。。可愛い花ですね。見たことは
ありますがなんという花なんだろう。。。
薄いピンク色がまた可愛いです。

都蝶々さんなら「なんというじ?」でしょうか。。笑ポチ

こっこちゃん  
No title

(^∇^)おはよー♪ございます

ピンク これって ノウゼンカツラですよね”
カワイイ 色で好きな花です~っポチ

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
今日は寒いようこれでやっと平年並みかな!
垣根によく植えられてるアベリアですよね、枝先に今頃も
花が見られます。 ポチ

Yasuko  
No title

おはよ(^o^)
今朝はとっても寒いです^^;
アべリアの花に似ているのですが、垣根に咲いています!
強くて長持ちします✿
☆ポチ

uch*n*an  
No title

この問題は,個人的には,久しぶりに,解いていて楽しい問題でした。
ただ,解法がいろいろとありそうで,実際,私は三つ+αの方法で解きましたが,
いずれも[解答]とは少し違います。
(解法1)は,CD 上に CF = DE となる点 F を取り合同と余弦定理で解く解法,
+αは,同じ設定で三角形を回転し正三角形を作り[解答3]っぽく解く解法,
(解法2)は,[参考]のように正六角形そして正三角形を作り[解答3]っぽく解く解法,
(解法3)は,[解答1]のように F を取り三角形を回転し頂角 120°の二等辺三角形を作り
[解答3]っぽく解く解法,でした。
純粋な算数でできないかしばし考えたのですが,三平方の定理かそれに等価なものが,
どこかで顔を出すようです。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
いろんな視点からアプローチできる問題は面白いですね♪
解法1には気づけましたが...^^;...
正六角形の発想には感心しました♡
ナポレンの定理ってのはありましたが...使い切れません...流石ですね ^^;...Orz~

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
花は、下にニリンソウさんが書いてくれているように、アベリアです。
長い間咲いてくれていて嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
花はアベリアです。
笑いのネタは古すぎます。若い?私には………、
残念ながら、理解できてしまいました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
花はアベリアですが、こんな撮り方をするとそう見えないかも知れません。
可愛いのでアップにしたら、こんな写真になりました。

ヤドカリ  
No title

> 2011/10/26(水) 午前 8:39の鍵コメ様
いつも、また行きたいなぁ、と、思いながら写真を見せて頂いています。
無理なさらない程度にブログを続けて下さいね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
よく見かけるアベリアですが、だいぶ疎らになってきました。
長く咲いてくれているのがいいですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
アベリアはよく見かけますね。
よく見るので、どこで撮ったか忘れそうですが、多分、長居公園だったと思います。
写真は、もう使っておかないと、ボツになりそうです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
解いていて楽しい問題だと私も思いますが、解答をまとめるのに苦労する問題です。
特に、正六角形やナポレオンの定理は解答を作る時に気づかなかったので、
あわてて図を追加することになりました。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
このような問題は、いろんな発想があり、面白いです。
解答を拝見して、私も勉強になります。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは。アベリアのピンクでしょうか?
優しい色ですねー
白は何所にでもありますがピンクのはあまり見かけませんよね。
とても綺麗です ('-'*) ポチ

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとポチを有難う御座います。
アベリアのピンクは確かにあまり見かけません。
ところが、どこだったかなぁ?
この前、散歩した所はピンクばかりでした。