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[答338] 角の二等分線と円の面積

ヤドカリ

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[答338] 角の二等分線と円の面積


 図のように、3点A,B,Cを通る円があって、弦AB=34,弦AC=14 です。

 ∠BACの二等分線と円の交点をPとすれば、AP=24√2 になりました。

 このとき、この円の面積は?


[解答1]

 BP=CP ,∠PBC=∠PAC=∠PAC になり、

 以下の(理由1)~(理由4)のいずれかにより、∠BAC=90゚ になります。

 BC2=AB2+AC2=342+142

 (BC/2)2=172+72=338 、

 求める面積は、 π(BC/2)2=338π になります。


(理由1)

 ∠BAP=∠PAC=θ として △ACP,△ABP に余弦定理を用いて、BP2=CP2 を書き換えれば、

 142+(24√2)2-2・14・(24√2)cosθ=342+(24√2)2-2・34・(24√2)cosθ 、

 2・20・(24√2)cosθ=(34+14)(34-14) 、cosθ=1/√2 、θ=45゚ 、∠BAC=90゚ です。


(理由2)

 ABの延長上に、BE=AC を満たす点Eをとると、∠EBP=∠ACP ,BP=CP だから、△EBP≡△ACP です。

 よって、∠BEP=∠CAP=∠PAB となって、△PAE は PA=PE の二等辺三角形、また、

 PA:AE=24√2:(34+14)=1:√2 だから、△PAE は 直角二等辺三角形で、∠PAB=45゚ です。


(理由3) uch*n*anさんの解答より

 AP と BC の交点を D とします。

 ∠BAP=∠CAP より BD:CD=AB:AC=34:14=17:7 ,BD=(17/24)BC です。

 また,円周角一定より ∠PBD=∠PAB ,∠APB が共通だから,∠PCB,△PBD ∽ △PAB,

 PB:PA=BD:AB,PB:24√2=(17/24)BC:34 ,PB=BC/√2=PC です。

 そこで,△PBC は辺の比が 1:1:√2 なので,∠BPC=90゚ ,

 四角形ABPC は円に内接しているので ∠BAC=90゚ になります。


(理由4)

 トレミーの定理により、BC・AP=AB・CP+AC・BP です。

 円周角が等しいので、BP=CP ですので、BC・AP=AB・BP+AC・BP です。

 BC・24√2=34・BP+14・BP 、BC=BP√2 となって、△PCB は直角二等辺三角形です。

 四角形ABPC は円に内接しているので ∠BAC=90゚ になります。


[解答2] 再出発さんの解答より

 右上図のように、弧BP=弧AQ となる点Qを 弧ACP上にとり、APとBQの交点をRとすると、

 四角形ABPQは等脚台形で、△RAB∽△RPQ で、ともに二等辺三角形です。

 RA:RP=AB:PQ=34:14=17:7 ,RA+RP=AP=24√2 、BE=17√2, DE=7√2 です。

 △RABと△RPQ は直角二等辺三角形なので、BP=26 、

 よって、外接円の半径 r は r =26/(2sin45゚)=13√2 、

 円の面積は、(13√2)2π=338π です。


[解答3] 座標で(大げさ?)

 0<α<π ,0<β<π ,0<c として、

 極座標で、A(34,0),P(24√2,α),B(14,2α) とし、円の中心を(c,β) とすれば、

 極を通る円の方程式は、r=2c・cos(θ-β) になります。

 この円上に A,B,P があるから、34=2c・cosβ ,14=2c・cos(2α-β) ,24√2=2c・cos(α-β)、

 17=c・cosβ ……(1) , 7=c・cos(2α-β) ……(2) , 12√2=c・cos(α-β) ……(3)

 (2)より、7=c・cos2αcosβ+c・sin2αsinβ 、(1)を代入して、7=17cos2α+c・sin2αsinβ 、

 7=17(2cos2α-1)+2c・sinαcosαsinβ ……(4)

 (3)より、12√2=c・cosαcosβ+c・sinαsinβ 、(1)を代入して、12√2=17cosα+c・sinαsinβ 、

 24(√2)cosα=34cos2α+2c・sinαcosαsinβ ……(5)

 (4)-(5) より、7-24(√2)cosα=-17 、α=π/4 になります。

 よって、(2)は 7=c・sinβ ……(6) となります。

 (1)2+(6)2 より、c2=172+72=338 、

 この c が円の半径だから、その面積は、c2π=338π です。

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Comments 20

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Yasuko  
No title

おはようございます♪
紫式部?コムラサキ?
コムラサキの方が実が小さいと思いますが?
まぁ~~どちらも美しいのだからイイのでは(*^_^*)✿
☆ポチ

uch*n*an  
No title

これもいろいろな解法のある問題でした。私は[解答1]の方向で五つの方法で解きました。
(解法1)が(理由2)と等価なもの,(解法2)が(理由3),(解法3)が(理由4),(解法4)が(理由1),
(解法5)は△ACP を AP に関して折り返し(理由2)の半分の三角形で議論する解法です。
さすがにこれで満足してしまったので後は考えませんでしたが,[解答2]は面白いですね。
[解答3]も個人的には興味をそそられましたが,極座標はさすがにちょっとやり過ぎかも。
それに,折角の発想の面白さの割には,その後の三角関数の計算が楽ではないですしね。
なお,ゴリゴリ計算していいのならば,普通の座標での計算の方が素直な気がします。
計算は簡単ではないですが,基本的でいい例題なので,ご参考までに書いておきましょう。

uch*n*an  
No title

m = tan(∠BAP) = tan(∠CAP) > 0,2p = 24√2,q を 0 以上の実数,とし,
A(p,0),P(-p,0),円の中心を Q(0,q) と座標を入れます。すると,
円:x^2 + (y - q)^2 = r^2,AB:y = - m(x - p),AC:y = m(x - p)
A,P は円周上にあるので,p^2 + q^2 = r^2,です。
また,B の x 座標 b は次の x の二次方程式の p 以外の解です。
x^2 + (- m(x - p) - q)^2 = r^2 = p^2 + q^2
(m^2 + 1)x^2 - 2m(mp - q)x + p((m^2 - 1)p - 2mq) = 0
(x - p)((m^2 + 1)x - ((m^2 - 1)p - 2mq)) = 0
b = ((m^2 - 1)p - 2mq)/(m^2 + 1)

uch*n*an  
No title

そこで,
AB^2 = (b - p)^2 + ((- m(b - p)) - 0)^2 = (m^2 + 1)(b - p)^2
= (m^2 + 1)(((m^2 - 1)p - 2mq)/(m^2 + 1) - p)^2
= 4(p + mq)^2/(m^2 + 1)
C の方は m -> -m とすればいいので,
AC^2 = 4(p - mq)^2/(m^2 + 1)
です。AB^2 - AC^2 より,
16mpq/(m^2 + 1) = AB^2 - AC^2 = 34^2 - 14^2 = 48 * 20
mq = 60(m^2 + 1)/p = 5(m^2 + 1)/√2

uch*n*an  
No title

これと,AB^2 + AC^2 より,
8(p^2 + (mq)^2)/(m^2 + 1) = AB^2 + AC^2 = 34^2 + 14^2
2((12√2)^2 + (5(m^2 + 1)/√2)^2)/(m^2 + 1) = 17^2 + 7^2 = 338
25(m^2 + 1)^2 - 338(m^2 + 1) + 2 * 288 = 0
((m^2 + 1) - 2)(25(m^2 + 1) + 288) = 0
m^2 + 1 > 0 なので,
m^2 + 1 = 2,m = 1,q = 10/√2
r^2 = p^2 + q^2 = (12√2)^2 + (10/√2)^2 = 288 + 50 = 338
これより,
円の面積 = πr^2 = 338π
になります。もちろん,
m = tan(∠BAP) = tan(∠CAP) = 1,∠BAP = ∠CAP = 45°,∠BAC = 90°
です。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
解法2が鮮やかだけど...
数字設定からたまたま直角二等辺△になるわけで...
一般にはなりませんよね?
気づかなかった者の負け惜しみ...遠吠え...^^;...Orz...

uch*n*an  
No title

>数字設定からたまたま直角二等辺△になるわけで...
>一般にはなりませんよね?
はい,直角二等辺三角形にはなりません。ただ,二等辺三角形にはなります。
そこで,sin(∠BAP) と BP が容易に求められるので,
正弦定理から円の半径も容易に求められます。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
背景の滝は日本庭園のもので、人工のものです。
と、いうことで、このムラサキシキブも園芸種のはずです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
日本庭園です。滝の流れの前のムラサキシキブは非日常空間ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私は、密集しているのがコムラサキ、やや疎らなのがムラサキシキブ、
と、いい加減な区別です。
ニリンソウさんが書かれているように、
園芸種がコムラサキなら密集していても可笑しくないですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、PCが復旧したようですね。
早速のコメントとポチを有難う御座います。
だんだん綺麗な紫色になってきて嬉しいです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私もコムラサキだと思って撮りました。
コムラサキも含めて「ムラサキシキブ」でもいいですね。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
背景は日本庭園の滝です。
コムラサキは、なるほどブローチですね。
これから寒くなり、ブローチよりトローチが必要では?

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この写真は背景が気に入って撮りました。
もちろん、ムラサキシキブも気に入ってです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、直交座標での解答を有難う御座います。
また、crazy_tomboさんへの説明も有難う御座います。
直交座標での解き方は、計算が長くなりますので、
今までの解答説明で使っていない、いくぶん短い解答になる、
極座標での解き方を示しました。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
uch*n*anさんの説明でご理解いただけたようですね。
問題を作る側としては、直角になるのが作り易く、間違いが少ないです。
たまには、そのように設定してもいいかと思って、そのようにしました。

いっちゃん  
No title

ゴホゴホっ!!トローチをください。
やどかりさんは卵酒にしましょう。。笑

こっこちゃん  
No title

( ^-^)ノ(* ^-^)ノこんばんわぁ♪

ムラサキシキブと 覚えていますが~
花の名前 難しいですよね” ぽち

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、再度のコメントを有難う御座います。
本物の風邪にならないように、ご注意くださいね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
訪問で無理をなさらないでくださいね。
花の名前については、私も難しいと感じています。