FC2ブログ

Welcome to my blog

[答339] 関数の自然数値

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答339] 関数の自然数値


 2以上の異なる自然数である定数 a,b,c を使って、

 自然数nを定義域とする関数f(n)を、f(n)=(ab+n)(bc+n)(ca+n)/(abc) とします。

 f(1) の値が自然数であるものとして、

 f(n)の値が自然数であるもののうち、19番目に小さいf(n)の値は?


[解答]

 f(n)=abc+(a+b+c)n+(1/a+1/b+1/c)n2+{1/(abc)}n3 だから、

 f(1)=abc+a+b+c+1/a+1/b+1/c+1/(abc) になります。

 f(1)が自然数だから、N=1/a+1/b+1/c+1/(abc) として、Nが自然数になればよいことになります。

 一般性を失わないので、2≦a<b<c とします。

 b≧4 とすれば、N≦1/2+1/4+1/5+1/40=39/40<1 だからNは自然数になりません。

 従って、a=2,b=3 になり、N=1/2+1/3+1/c+1/(6c)=5/6+7/(6c) です。

 Nをcの関数とみれば、単調減少で、c=4 のとき N=9/8 だから、Nが自然数のとき、N=1 です。

 従って、5/6+7/(6c)=1 、c=7 になります。

 f(n)=42+12n+(41/42)n2+(1/42)n3=42+12n+n2+n2(n-1)/42

 で、この値が自然数になるのは、n2(n-1) が 42=2・3・7 の倍数のときです。

 n,n-1 の片方が奇数、片方が偶数ですので、n2(n-1) は偶数ですので、

 n,n-1 のどちらかが3の倍数、どちらかが7の倍数であればよいことになります。

 この条件を満たす自然数nは、n≡0,1,7,15 (mod 21) ですので、

 n=1,7,15,21,22,…… の 19 番目は、n=99 、19番目に小さいものは、f(99)=33900 です。

.

スポンサーサイト



Comments 16

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

白鳥が飛び立つような~
雪の妖精が楽しげに舞っているようにも~(^^♪
なんという花ですか?ポチ☆

古い人  
No title

此花は猫の髭ですね。

そういえばそりあがっていますね。

珍しく和名が付いていますね。 ポチ。

アキチャン  
No title

おはようございます!
この種の形状のお花はみんな繊細で好きです (o^-^o)

さっちゃんこ  
No title

おはようございます。
見事なばかりの「ねこのひげ」
素晴らしいです。 ポチ

Yasuko  
No title

○o。.おはようございます.。o○
花火のような花✿クレオメ(セイヨウフゥチョウソウ)かしら?
葉っぱが違って居るような気がするの?
多分間違ってると思います。
間違ってたらゴメンネ
☆ポチ

uch*n*an  
No title

私の解法は基本に忠実すぎて若干計算に無駄がありましたが,ほぼ同じでした。
この問題は,結局は,まず f(1) が自然数より a,b,c を求め,
f(n) が自然数より n の条件を求め,その 19 番目を求める,という解法になるようです。
その意味で,適当な小問に分けるなどすると,大学入試によさそうな問題です。
もっとも,解法を知らない又は気付けないとかなりの難問ですが,
ある程度分かっている人には,気が楽ですが,考えるというよりも解くだけなので,
工夫の余地が少なく,面白みは薄い問題かも知れません。

ニリンソウ  
No title

皆さんのコメントから「猫のひげ」という花ですか。
珍しいですね~よく名前つけましたね

似た花にシモバシラなんていうのもありますね

ポチ

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
a,b,c を求めるところがすべてでしたのに...
(ab+1)(bc+1)(ca+1)/(abc)
ab+1 はabと互いに素...あとも同じ...
2≦a<b<c として...
2*3+1=7≦ab+1=cp
c=7 の場合...
3*7+1=2*11
7*2+1=3*5
で題意を満たす...
ってないい加減な方法で見つけたのですが...
解の一意性が言えてないから駄目ですね...^^;...Orz...

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
下のコメントにあるように「ねこのひげ」です。白い猫ですね。
雪の精でもいいと私も思います。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
英語でも Cats whiskers というようです。
まさに猫の髭ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このような花は本当に繊細ですね。ガウラもそうでした。
この造形がどうして生まれるのか不思議です。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
1本だげ見事に咲いていました。
猫の髭のような蕊が特徴的ですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
クレオメと違って、下の方から咲いていました。
この花は、長居公園の植物園近くで撮りました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
この問題は、誰が解いても、結局 a,b,c を求めて、約数・倍数の性質を利用する問題ですね。
面白さに欠けるかも知れませんが、解答は作り易いです。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
シモバシラですか? 知ってはしますが見たことがないです。
やはり雪国の方の発想ですね。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
趣味の領域ですので、少しぐらい不備があってもいいのでは?
「ほどよい加減」で解いて下さい。