[答339] 関数の自然数値

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[答339] 関数の自然数値


　２以上の異なる自然数である定数 a，b，c を使って、

　自然数ｎを定義域とする関数f(n)を、f(n)＝(ab＋n)(bc＋n)(ca＋n)/(abc) とします。

　f(1) の値が自然数であるものとして、

　f(n)の値が自然数であるもののうち、19番目に小さいf(n)の値は？


[解答]

　f(n)＝abc＋(a＋b＋c)n＋(1/a＋1/b＋1/c)n²＋{1/(abc)}n³ だから、

　f(1)＝abc＋a＋b＋c＋1/a＋1/b＋1/c＋1/(abc) になります。

　f(1)が自然数だから、N＝1/a＋1/b＋1/c＋1/(abc) として、Ｎが自然数になればよいことになります。

　一般性を失わないので、2≦a＜b＜c とします。

　b≧4 とすれば、N≦1/2＋1/4＋1/5＋1/40＝39/40＜1 だからＮは自然数になりません。

　従って、a＝2，b＝3 になり、N＝1/2＋1/3＋1/c＋1/(6c)＝5/6＋7/(6c) です。

　Ｎをｃの関数とみれば、単調減少で、c＝4 のとき N＝9/8 だから、Ｎが自然数のとき、N＝1 です。

　従って、5/6＋7/(6c)＝1 、c＝7 になります。

　f(n)＝42＋12n＋(41/42)n²＋(1/42)n³＝42＋12n＋n²＋n²(n－1)/42

　で、この値が自然数になるのは、n²(n－1) が 42＝2･3･7 の倍数のときです。

　n，n－1 の片方が奇数、片方が偶数ですので、n²(n－1) は偶数ですので、

　n，n－1 のどちらかが３の倍数、どちらかが７の倍数であればよいことになります。

　この条件を満たす自然数ｎは、n≡0，1，7，15 (mod 21) ですので、

　n＝1，7，15，21，22，…… の 19 番目は、n＝99 、19番目に小さいものは、f(99)＝33900 です。

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