[答339] 関数の自然数値
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[答339] 関数の自然数値
2以上の異なる自然数である定数 a,b,c を使って、
自然数nを定義域とする関数f(n)を、f(n)=(ab+n)(bc+n)(ca+n)/(abc) とします。
f(1) の値が自然数であるものとして、
f(n)の値が自然数であるもののうち、19番目に小さいf(n)の値は?
[解答]
f(n)=abc+(a+b+c)n+(1/a+1/b+1/c)n2+{1/(abc)}n3 だから、
f(1)=abc+a+b+c+1/a+1/b+1/c+1/(abc) になります。
f(1)が自然数だから、N=1/a+1/b+1/c+1/(abc) として、Nが自然数になればよいことになります。
一般性を失わないので、2≦a<b<c とします。
b≧4 とすれば、N≦1/2+1/4+1/5+1/40=39/40<1 だからNは自然数になりません。
従って、a=2,b=3 になり、N=1/2+1/3+1/c+1/(6c)=5/6+7/(6c) です。
Nをcの関数とみれば、単調減少で、c=4 のとき N=9/8 だから、Nが自然数のとき、N=1 です。
従って、5/6+7/(6c)=1 、c=7 になります。
f(n)=42+12n+(41/42)n2+(1/42)n3=42+12n+n2+n2(n-1)/42
で、この値が自然数になるのは、n2(n-1) が 42=2・3・7 の倍数のときです。
n,n-1 の片方が奇数、片方が偶数ですので、n2(n-1) は偶数ですので、
n,n-1 のどちらかが3の倍数、どちらかが7の倍数であればよいことになります。
この条件を満たす自然数nは、n≡0,1,7,15 (mod 21) ですので、
n=1,7,15,21,22,…… の 19 番目は、n=99 、19番目に小さいものは、f(99)=33900 です。
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