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[答33] 3元1次方程式の整数解

ヤドカリ

ヤドカリ


☆ 美しい北海道の紅葉です。ゆうこさんのブログより頂きました。もっと見たい方は下記にアクセスして下さい。
      http://blogs.yahoo.co.jp/concert216/49244656.html








[答33] 3元1次方程式の整数解


 abc-bc-ca-ab=a+b+c-1, a≦b≦c≦20 を満たす整数a,b,cの組(a,b,c)は何通り?



[解答]

 (a-1)(b-1)(c-1)=2(a+b+c-1) と式変形できます。

① a,b,c に1が含まれる場合、3数を 1,m,n とすれば、
 0=2(m+n) よって m=-n
 (a,b,c)=(0,0,1)
 (a,b,c)=(-n,1,n) n=1,2,3,……,20

② a,b,c に1が含まれない場合、
 a-1, b-1, c-1 の全てが奇数の場合は成り立たないので、少なくとも1つは偶数。
 偶数のものをp, 他の2つをq,r、ただし |q|≦|r|とします。
 もちろん、p,q,r には0は含まれません。

 pqr=2(p+q+r+2) だから p(qr-2)=2(q+r+2)
 qr=2 と q+r=-2 は同値となりますが、これを満たす整数q,rは存在しません。

 p(qr-2)=2(q+r+2) より p/2=(q+r+2)/(qr-2)=(q/r+1+2/r)/(q-2/r)
 4≦|q|≦|r|の場合は、|q/r+1+2/r|<3, |q-2/r|>3 だから p/2 は整数になりません。

 したがって、|q|=1,2,3 の場合を調べれば十分です。

 p(qr-2)=2(q+r+2) より pq/2=(q2+qr+2q)/(qr-2)
 よって、 pq/2=1+(q2+2q+2)/(qr-2)

 q=1 のとき、p/2=1+5/(r-2)
 (r,p)=(3,12)   (a,b,c)=(2,4,13)
 (r,p)=(7,4)   (a,b,c)=(2,5,8)
 (r,p)=(1,-8)   (a,b,c)=(-7,2,2)

 q=-1 のとき、-p/2=1-1/(r+2)
 (r,p)=(-3,-4)   (a,b,c)=(-3,-2,0)

 q=2 のとき、p=1+5/(r-1)
 (r,p)=(2,6)   (a,b,c)=(3,3,7)
 (r,p)=(6,2)   上と重複します。

 q=-2 のとき、-p=1-1/(r+1)
 (r,p)=(-2,-2)   (a,b,c)=(-1,-1,-1)

 q=3 のとき、3p/2=1+17/(3r-2)
 これを満たす 3≦|r|,p≠0 は存在しません。

 q=-3 のとき、-3p/2=1-5/(3r+2)
 これを満たす 3≦|r| は存在しません。

 答をまとめると、
 (a,b,c)=(0,0,1),(2,4,13),(2,5,8),(-7,2,2),(-3,-2,0),(3,3,7),(-1,-1,-1),(-n,1,n) n=1,2,3,……,20
 の 27通り。

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Comments 8

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スモークマン  
No title

複雑ね...^^;
(2,4,13),(2,5,8) の場合...角度の和=45度の問題が作れるわけですね♪

ヤドカリ  
No title

はい、(3,3,7)もです。
ただ、同じ角を使いたくなかったのと、13のような大きい数を使うと図が大きくなる、
そんな理由で、(2,5,8)しか出来ませんでした。

ニリンソウ  
No title

北海道の秋、紅葉のビューポイントもススキも見せてもらいました。
冷たい空気の中の美しさが素晴らしいですね。
ありがとう ポチ!

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、訪問とコメとポチ、有難うございます。
今はあまり時間がなく行けませんが、ゆうこさんのブログでしっかりビューポイントを勉強して、北海道に行きたいです。ニリンソウさんは最近、登山に行かれたのですね。うらやましいです。

いっちゃん  
No title

おはようございます。。
素敵な風景ですね。。すっかり秋色です。。紅葉がきれいですね。。
いつみてもゆうこさんの写真は素敵な北海道の景色がいっぱいですね。。
さくらは南から、紅葉は北から。。もうすぐ、私たちの目も和ませてくれることでしょう。。
桜はお花見って言うけど、紅葉はどうして紅葉狩りって表現するんだろう。。。ポチ

uch*n*an  
No title

詳しい解説をありがとうございます。
私の解法は,自然数解をを分離し,式の変形の仕方が少し違うので,論理展開が違いますが,
結局は,同じことをやっているようにも思います。

それにしても,きれいな紅葉ですね。実際に見てみたいです。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、いつもコメントとポチ、有難うございます。
ゆうこさんのブログにはお世話になりっ放しです。
実際に見たいと思いますが、もし実現しても寒さに耐えられるかどうか……。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、結局この方程式は1つの文字の値を決めて他の整数解を求めることになります。如何に能率的に文字の値を決めるかが問題だと思います。
上の私の解答が最善であるという自信はありません。