[答340] 正方形内の三角形の面積

[答340] 正方形内の三角形の面積


　図のように正方形ABCDがあって、∠CBP＝∠PBQ になるように、辺CD上にP，辺DA上にQ をとります。

　AQ，QD，DP の長さがこの順に等差数列になり、△PBC＝3cm² のとき、△QBP＝？


[解答]

　∠CBP＝∠PBQ＝θ とすれば、∠BQA＝2θ です。

　tanθ＝t とすれば、tan2θ＝2t/(1－t²) だから、QA：AB＝(1－t²)：2t 、

　従って、QA＝k－kt²，AB＝2kt とおけます。

　正方形の１辺は　2kt で、CP＝BCt＝2kt² です。

　次に、2QD＝AQ＋DP だから、2(2kt－AQ)＝AQ＋(2kt－PC) 、－3AQ＋PC＋2kt＝0 、

　－3k＋3kt²＋2kt²＋2kt＝0 、5kt²＋2kt－3k＝0 、k(5t－3)(t＋1)＝0 、t＝3/5 です。

　よって、QA：AB＝(1－t²)：2t＝16/25：6/5＝8：15 、

　AB：BQ＝15：√(15²＋8²)＝15：17 になります。

　△PBC：△QBP＝BC：BC＝AB：BC＝15：17 だから、

　△QBP＝(17/15)△PBC＝(17/15)･3cm²＝(17/5)cm²＝340mm² です。

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