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[答341] 三角関数の値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答341] 三角関数の値


 sinθ+2cosθ=21/10 のとき、(4sinθ+3cosθ)cosθ=?


[解答1] 合成のような式なので

 sinα=1/√5,cosα=2/√5 とすれば、sin2α=4/5,cos2α=3/5 になります。

 (4sinθ+3cosθ)cosθ=4sinθcosθ+3cos2θ=2sin2θ+3(1+cos2θ)/2

  =(3cos2θ+4sin2θ)/2+3/2=5(cos2θcos2α+sin2θsin2α)/2+3/2

  =5{cos(2θ-2α)}/2+3/2=5{2cos2(θ-α)-1}/2+3/2

  =5cos2(θ-α)-1={(√5)cos(θ-α)}2-1

  ={(√5)(cosθcosα+sinθsinα)}2-1=(2cosθ+sinθ)2-1

  =(21/10)2-1=341/100 です。


[解答2] sinθを消去すれば

 sinθ=21/10-2cosθ の両辺を2乗して、1-cos2θ=441/100-(42/5)cosθ+4cos2θ 、

 (42/5)cosθ-5cos2θ=341/100 になります。

 (4sinθ+3cosθ)cosθ={4(21/10-2cosθ)+3cosθ}cosθ=(42/5-5cosθ)cosθ

  =(42/5)cosθ-5cos2θ=341/100 です。


[解答3] そのまま2乗すれば

 sinθ+2cosθ=21/10 の両辺を2乗して、sin2θ+4sinθcosθ+4cos2θ=441/100 、

 1+4sinθcosθ+3cos2θ=441/100 、(4sinθ+3cosθ)cosθ=341/100 になります。

☆ この単純な解き方の方がいちばん楽です。

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Comments 17

There are no comments yet.
さっちゃんこ  
No title

おはようございます。
アブチロン とても可愛い花ですよねー
小さなランプが幾つも並んだみたいです。
アブチロンにもいろいろに種類がありますが
この花が一番可愛く思います。 ポチ

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
ランプのような花、アプチロン鉢植えにしても枯らして
ばっかり~もう見るだけの花にしています

ポチ

古い人  
No title

アブチロン此花は風に揺られてぶら下がる姿が可愛いね。

此花は花期も長く咲いてくれますね。

ポチ。

アキチャン  
No title

おはようございます!
一番最初に見た時、こんなお花もあるんだと感動したものです (o^-^o)
可愛いですよね♪ ポチ

ひとりしずか  
No title

面白い形したますよね~
ぴんくと黄があるんですね、雄しべが長くて・・・
ランプのようです。ポチ☆

Yasuko  
No title

おはようございます♪
可愛くて個性的なお花アプチロン~✿
我が家でも鉢植えにしてましたがいつの間にか枯れていました!
お花が好きなのに直ぐに枯らしてしまうのです><
☆ポチ

uch*n*an  
No title

私は四つの方法で解きました。
(解法4)は,(4sinθ + 3cosθ)cosθ = (sinθ + 2cosθ)^2 - ((cosθ)^2 + (sinθ)^2)
と変形しましたが,[解答3]と同じ,
(解法1)は,x = cosθ,y = sinθ,x^2 + y^2 = 1,y + 2x = 21/10 とおきましたが,
y を消去したので,[解答2]と同じ,
(解法2)は,(解法1)で x,y について解いて計算する解法,
(解法3)は,sinθ + 2cosθ = 21/10 を真面目に合成の式を使って解き,
加法定理で cosθ,sinθ を求めて計算する解法,でした。
(解法2)と(解法3)は検算としてやりましたが,それでも大した計算ではないです。
その意味では,個人的には,[解答1]は(解法3)と比べてもむしろ複雑で遠回りに見えます。

uch*n*an  
No title

なお,おっしゃるように,
[解答3]や(解法4)が簡単で計算も楽で,単純で面白みのない問題に見えますが,
実は,見方を変えると,なかなか興味深く,奥も深い問題にも通じています。
ただ,コメント欄は文字制限があり余白?も少ないので省略します。
(ん? どこかで聞いたようなせりふだ (^^; )

こっこちゃん  
No title

こんばんは
チロリアンプ可愛いですよね” ぽち

こちらの庭にも 沢山咲き始めています
今しばらく更新は休みたいと 思っています”
読み逃げ 訪問するときもありますが 宜しくお願いいます。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
アブチロンの小さな花が可愛くて、カメラを向けました。
この花の色が素敵です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花は道端に咲いていました。
丈夫だなぁ~と思っていたのですが、育てるのは難しいのですね。
見るだけの私には分かりませんでした。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
花期の長い花は、もう少し綺麗になったら撮ろうと思いながら、撮りそびれることがあります。
この花は「撮って下さい」と言っているようでした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私も初めて見た時、感動したもののひとつです。
「初めて」と書きましたが、花に興味がない時に見ていたかも知れません。笑

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、先がピンクと黄色がありますが、全体が紅いので黄色が目立ちます。
本当に、気持ちに灯を点すランプのようです。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
道端に咲いていましたので、丈夫だなぁ~と思っていたのですが、
そんなこともないのですね。
私は育てる自信がありませんので、花を見に行きます。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
この問題が三角関数の最初の方に書かれていれば[解答3]でしか解けませんが、
合成までの学習をした直後なら、[解答1]かも知れません。
[解答1]だけで解かれた方もいましたし、私もそちらが先に浮かびます。
知識が盲点を生むかも知れないと思って出題しました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
わざわざコメントを書いて頂いて恐縮です。
ひょっとして、正解者一覧の記事にもポチを頂いたのではありませんか。
更新・コメントが大変な場合は、無理しないでくださいね。
訪問されたら履歴に残るので分かりますから。