[答341] 三角関数の値
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[答341] 三角関数の値
sinθ＋2cosθ＝21/10 のとき、(4sinθ＋3cosθ)cosθ＝？
[解答1] 合成のような式なので
sinα＝1/√5，cosα＝2/√5 とすれば、sin2α＝4/5，cos2α＝3/5 になります。
(4sinθ＋3cosθ)cosθ＝4sinθcosθ＋3cos2θ＝2sin2θ＋3(1＋cos2θ)/2
＝(3cos2θ＋4sin2θ)/2＋3/2＝5(cos2θcos2α＋sin2θsin2α)/2＋3/2
＝5{cos(2θ－2α)}/2＋3/2＝5{2cos2(θ－α)－1}/2＋3/2
＝5cos2(θ－α)－1＝{(√5)cos(θ－α)}2－1
＝{(√5)(cosθcosα＋sinθsinα)}2－1＝(2cosθ＋sinθ)2－1
＝(21/10)2－1＝341/100 です。
[解答2] sinθを消去すれば
sinθ＝21/10－2cosθ の両辺を２乗して、1－cos2θ＝441/100－(42/5)cosθ＋4cos2θ 、
(42/5)cosθ－5cos2θ＝341/100 になります。
(4sinθ＋3cosθ)cosθ＝{4(21/10－2cosθ)＋3cosθ}cosθ＝(42/5－5cosθ)cosθ
＝(42/5)cosθ－5cos2θ＝341/100 です。
[解答3] そのまま２乗すれば
sinθ＋2cosθ＝21/10 の両辺を２乗して、sin2θ＋4sinθcosθ＋4cos2θ＝441/100 、
1＋4sinθcosθ＋3cos2θ＝441/100 、(4sinθ＋3cosθ)cosθ＝341/100 になります。
☆ この単純な解き方の方がいちばん楽です。
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