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[答34] 長方形と円 #2

ヤドカリ

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[答34] 長方形と円 #2

 a2+b2=c2 を満たす正の数 a,b,c があって、

 AB=c+a, AC=c+b の長方形ABPCの辺AB,AC(またはその延長でもよい)に接し、

 頂点Pを通るような円の半径でc以外のものを a,b,c で表すと?


[解答]

 (r-c-a)2+(r-c-b)2=r2、r2-2(2c+a+b)r+(2c2+a2+b2+2ac+2bc)=0、

 r2-(4c+2a+2b)r+(3c2+2ac+2bc)=0、(r-c)(r-3c-2a-2b)=0、r=c, 2a+2b+3c。

 答は、2a+2b+3c 。


[補足]

 r=3c+2a+2b を (r-c-a)2+(r-c-b)2=r2 に代入すると、

 (a+2b+2c)2+(2a+b+2c)2=(2a+2b+3c)2 になります。

 これは、ピタゴラス数(a,b,c)から
 別のピタゴラス数(a+2b+2c, 2a+b+2c, 2a+2b+3c)が作られることを示します。
 (2a+b+2c)-(a+2b+2c)=a-b だから、
 作られたピタゴラス数は、もとのピタゴラス数と、直角をはさむ2辺の差が変わりません。

 (3,4,5) から始めると、
 (3,4,5) ⇒ (21,20,29) ⇒ (119,120,169) ⇒ (697,696,985) ⇒ ……
 と、直角をはさむ2辺の差が1のピタゴラス数が次々と現れます。

 なお、
 AB=c+a, AC=c-b とすると、(a,b,c) ⇒ (a-2b+2c, 2a-b+2c, 2a-2b+3c)
 AB=c-a, AC=c+b とすると、(a,b,c) ⇒ (-a+2b+2c, -2a+b+2c, -2a+2b+3c)
 と、別のピタゴラス数ができます。
 例えば、(3,4,5) ⇒ (5,12,13) , (3,4,5) ⇒ (15,8,17) です。


 (a,b,c) ⇒ (a+2b+2c, 2a+b+2c, 2a+2b+3c) [直角をはさむ2辺の差を変えない]
 (a,b,c) ⇒ (a-2b+2c, 2a-b+2c, 2a-2b+3c)
 (a,b,c) ⇒ (-a+2b+2c, -2a+b+2c, -2a+2b+3c)
 この3種類をいろいろ組み合わせるといろんなピタゴラス数が出現します。

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Comments 3

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スモークマン  
No title

なるほど♪
ピタゴラス数の表わし方初見です...^^v
a<b<c だから...c±a or b の4種類から、c-a,c-b の場合を除いた3種類が考えられるわけですね♪

uch*n*an  
No title

なるほどね。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、uch*n*anさん、
変わり映えしない・簡単な問題の出題意図を納得して頂いたようです。
嬉しいです。