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[答347] 正五角形と正十角形

ヤドカリ

ヤドカリ



[答347] 正五角形と正十角形


 図のように、1辺を共有する正五角形と正十角形があります。

 このとき、水色の部分の面積は黄色の部分の面積の何倍?


[解答1]

 1辺が2の正n角形の面積を S(n) として、S(10)/S(5)-1 を求めます。

 正n角形の外接円の半径をrとすれば、r・sin(180゚/n)=1 です。

 S(n)=n(1/2)r2sin(360゚/n)=nr2sin(180゚/n)cos(180゚/n)

  =nr2sin2(180゚/n)/tan(180゚/n)=n/tan(180゚/n)

 だから、S(10)=10/tan18゚,S(5)=5/tan36゚ となり、

 S(10)/S(5)-1=2tan36゚/tan18゚-1=2・2tan18゚/(1-tan218゚)/tan18゚-1=4/(1-tan218゚)-1

  =4/{1-(1-cos36゚)/(1+cos36゚)}-1=4(1+cos36゚)/{(1+cos36゚)-(1-cos36゚)}-1

  =2(1+cos36゚)/cos36゚-1=2/cos36゚+1 になります。

 ここで、cos36゚=(√5+1)/4 ( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-976.html )だから、

 S(10)/S(5)-1=2/cos36゚+1=8/(√5+1)+1=2(√5-1)+1=2√5-1 です。


[解答2]

 右下図のように、正五角形で、対角線:辺=1:x とすれば、

 面積比で、正十角形:正五角形=10:(2x+1) になります。

 相似または角の二等分線の性質より、 1:x=x:(1-x) 、x2=1-x 、x2+x=1 、

 4x2+4x+1=5 、(2x+1)x2=5 、2x+1=√5 です。

 よって、正十角形:正五角形=10:(2x+1)=10:√5=2√5:1 になり、

 正十角形は正五角形の 2√5 倍、水色の面積は黄色の面積の 2√5-1 倍です。

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Comments 16

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古い人  
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此花は一度聞いたことありそうな花ですが。

ホワイト逆さチュウリップの木だとか聞きましたが。

その時しっかり確かめて居ませんので判りません。
でも白くてとても綺麗な花ですね。 ポチ。

ニリンソウ  
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おはようございます!!
バイカウツギ…似てるね、今頃顔出したのかな?
しっとり露のあさですか寒いけど薄日が射して来ています

ポチ

Yasuko  
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おはようございます♪
↑の方と同じで花弁も良く似てるし葉っぱも似ているのですが?
純白の白が綺麗です~✿
バイカウツギでしょうか?

○o。.ポチ☆.。o○

さっちゃんこ  
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おはようございます
この花見てるはずなのに思い出せません。
梅花うつぎは居前地でも咲いているのですが
何所となく違うような…
角度の違いですかね? ポチ

いっちゃん  
No title

おはようございます^^
今頃咲いているのですか?どこかのベランダ咲き?

少しうつむき加減で雨の滴が涙に見え可愛いですね。ポチ

アキチャン  
No title

こんにちわ!
白いお花、きれいですね~ (o^-^o)
ポチ

uch*n*an  
No title

この問題も,算数にはなりませんが算数っぽく考えられる楽しい問題でした。
私の解法は三つ。論理の展開,計算の仕方などは違いますが,
考え方は,(解法3)が[解答1],(解法2)が[解答2]でした。
(解法1)は,正十角形の頂点を一つおきに結ぶと正五角形になることを使う解法ですが,
結局は,[解答2]と似たような感じになります。
なお,今まで特に考えたことが無かったのですが,
辺を共有する正五角形の頂点の一つが正十角形の外接円の中心に一致することを,
今回初めて知りました。

ひとりしずか  
No title

園芸品種のバイカウツギでしょうか?
焦点の合わせ方が上手いんですね~
白の花びら、花芯が良く撮れてますね~ポチ☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花は、季節外れだと思いますが、バイカウツギです。
綺麗に咲いていたので撮りました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、バイカウツギです。
この時期に見られるとは思っていませんでした。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このバイカウツギは堺市の都市緑化センターの屋上ガーデンに咲いていました。
近くの大仙公園にもバイカウツギはありますが、花の時期ではありませんでした。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
バイカウツギです。
真っ白の花に思わずカメラを向けました。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この季節の咲くとは思いませんでした。
都市緑化センターの屋上ガーデンです。たまに行きます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私は白い花が好きですので、すぐ視線が向きます。
綺麗に咲いてくれていました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
> 辺を共有する正五角形の頂点の一つが正十角形の外接円の中心に一致する
これは、nを奇数とすれば、
辺を共有する正 n 角形の頂点の一つが正 2n 角形の外接円の中心に一致する
ことも言えます。
考えてみれば簡単なことですが、私もこの問題を作って気づきました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
園芸品種かどうかは知りませんが、今の時期に見られるとは思いませんでした。
これも気に入ったので何枚か撮り、比較的満足できるものを使いました。