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[答349] 複素数の絶対値

ヤドカリ

ヤドカリ



[答349] 複素数の絶対値


 αを正の角として、複素数 z=cosθ+i・sinθ (0≦θ≦α) とします。

 |z10+2z| の最小値が 1 となる最小のαの値は?


[解答1]

 z10+2z=cos10θ+i・sin10θ+2cosθ+2i・sinθ=(cos10θ+2cosθ)+i・(sin10θ+2sinθ) 、

 |z10+2z|2=(cos10θ+2cosθ)2+(sin10θ+2sinθ)2

  =cos210θ+4cos10θcosθ+4cos2θ+sin210θ+4sin10θsinθ+4sin2θ

  =5+4(cos10θcosθ+sin10θsinθ)=5+4cos(10θ-θ)=5+4cos9θ

 cos9θ=-1 となれば 最小値が 12 になるから、θ=π/9 が 0≦θ≦α に含まれればよい。

 従って、π/9≦α 、最小のαの値は π/9 です。


[解答2]

 |z10+2z|=|z||z9+2|=|z9+2| は 複素平面上の -2 と z9 の距離を表し、

 図のように、 z9 は複素平面上の 0 を中心とする半径 1 の円上にありますので、

 z9=-1 のときだけ |z9+2|=1 のなります。

 9θ=π すなわち θ=π/9 が 0≦θ≦α に含まれればよいから、最小のαの値は π/9 です。

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Comments 19

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

おはようございます! 今日の休日も雨です~

ハイビスカス・ローゼルですね。
真赤なお茶が美容にいいらしい一度飲んだけど全然
効き目なしでしたよ。 ぽち

古い人  
No title

今日の花も背の高イモミジアオイに良く似ていますね。

余りにも大きいので良く目にしますが名前まではね。
木の幹まで赤くて目だって居ますよ。
ポチ。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
よくご存知ですね。
苞はジャム、葉はハーブティーに利用するそうですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ローゼルハイビスカスだそうです。植物園で見ました。
ジャムやハーブティーに使われるようです。

ひとりしずか  
No title

あのハイビスカスの仲間ですか?
蕾?実?
今の季節のものですか?
茎まで赤くて目を惹きますね~
ジャム食べてみたい~ポチ☆

アキチャン  
No title

そのままでも、ガブッといけそう(笑)紅く熟してきれいですね (o^-^o)
ポチ

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
葉っぱは乾燥せずにそのまま紅茶替わりでいいのかな~?
此のハイビスカスローゼル花は殆ど楽しむ間が無いので
どうしても実を楽しみますね。
そうなると紅茶やジャムには程遠い話に成ってしまいます。 ポチ

uch*n*an  
No title

この問題は,複素数の性質に慣れていれば難しくない,むしろ易しい,のですが,
慣れていないと苦労するかも知れません。
私が高校生の頃はこの程度の複素数の問題は教科書にも載っていましたが,
今の高校では複素数はあまり詳しく学ばなかったような気がします。
もしそうならば,大学レベルの問題になってしまうのかも。
私の解法は二つ。(解法1)は[解答1]のような計算ですが少し違います。
ご参考までに書いておきますね。(解法2)は[解答2]と同じでした。

uch*n*an  
No title

(解法1)
f(θ) = |z^10 + 2z| とすると,f(θ) >= 0 なので,(f(θ))^2 で考えれば十分です。
そこで,z の複素共役を z~ と書くと,|z| = 1,zz~ = |z|^2 = 1,(f(θ))^2 >= 1 なので,
(f(θ))^2 = |z^10 + 2z|^2 = |z|^2 * |z^9 + 2|^2 = |z^9 + 2|^2
= (z^9 + 2)(z^9 + 2)~ = 1 + 2(z^9 + (z^9)~) + 4 = 5 + 4cos(9θ) >= 1
cos(9θ) >= -1
最小の正のαを求めるので,9θがπを取れるようにαを決める必要がありますが,
0 <= 9θ <= 9α なので,そうなる最小は,9α = π,α = π/9,になります。

Yasuko  
No title

こんにちは~♪
蕾ですか?知りませんでした!
ジャムやハーブティーに使われるのですか・・・
どんな味がするのでしょうね?

○o。.ポチ☆.。o○

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
アオイ科フヨウ属ですので、ハイビスカスと同族です。
この季節に実ができるようですよ。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
そのままで食せるのか、どんな味なのかは知りませんが、
綺麗に色づいていました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
花は一日花だそうで、見られませんでした。ウェブで見て知りました。
ハーブティーやジャムはネットで注文できるようです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと解答を有難う御座います。
実は[解答2]の図形的なイメージが主眼の問題ですので、
[解答1]は直接計算してもできるという程度の思いで書きました。
複素数は2次以上の方程式の解として出て来ますが、
ただそれだけでは勿体ないですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとポチを有難う御座います。
長居植物園ではじめて見ました。紅い実がたくさんありました。
ジャムやハーブティーはネットでも販売されているようですが、
私は口にしたことがありませんので、味は知りません。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
二番煎じな話ですが...^^;...
複素数は...かけ算は絶対値分その方向で大きくなり、その偏角分の回転されると素朴に了解してます...だから...|z|=1...|z^10+2z|=1
になるには...半径の2倍になった2zを半径分にしなくてはならないので...z^10とz の偏角の差はπ=180°のときしかないとわかりますが...
また...これを満たす最大のk*zのk=2もそうですが...それよりも小さいkで同じようにわかるのは少ないことも...^^;...
やはり計算でもできなきゃいけませんねぇ...Orz...

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、複素数についてはその理解でいいと思います。
感覚的に分かっても、計算の方が説明しやすいこともよくあることです。

こっこちゃん  
No title

こんばんは

ハイビスカスローゼの 実 素敵な色ですよね”

ジャムなどが できるのですか~ ポチ

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
真っ赤な綺麗な色でした。
どんなジャムだろうと気にはなります。