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[答350] 楕円と正三角形

ヤドカリ

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[答350] 楕円と正三角形


 図のように楕円 3x2+ay2=3a (a>3)があって、

 B(0,-√3)とこの楕円上の点を結ぶ弦の長さが最長となるような弦を BP,BQ とします。

 △BPQ が正三角形となる場合、この正三角形の1辺の長さは?


[解答1]

 P(x,y) とすれば 3x2+ay2=3a が成り立ちます。

 3BP2=3{x2+(y+√3)2}=3a-ay2+3y2+(6√3)y+9

  =-(a-3)y2+(6√3)y+3a+9=……

  =-(a-3){y-(3√3)/(a-3)}2+3a2/(a-3)

 ここで、-√3≦y≦√3 だから、(3√3)/(a-3)≦√3 であれば、

 y=(3√3)/(a-3) で、BPの最大値が a/√(a-3) になります。

 BPが最大のとき、△BPQ が正三角形となる場合は、

 (y+√3):BP=√3:2 だから (y/√3+1):BP=1:2 、2(y/√3+1)=BP 、

 2{3/(a-3)+1}= a/√(a-3) 、2a/(a-3)=a/√(a-3) 、2=√(a-3) 、a=7 です。

 a=7 のとき、(3√3)/(a-3)≦√3 が成り立ち、正三角形の1辺は a/√(a-3)=7/2 です。


[解答2] uch*n*anさんのコメントより

 a>3 より,楕円の長軸の長さが 2√a,短軸の長さが 2√3 なので,

 F,F' を焦点,P を一般に楕円上の点とすると,

 PF+PF'=2√a,F(√(a-3),0),F'(-√(a-3),0),BF=BF'=√a です。

 ここで,BP が最長のときは,B を中心に半径 BP の円を描くと,

 楕円は円の内部にあり,円と楕円は P で接します。

 そこで,円と楕円の共通接線を考えると,BP⊥接線,焦点の性質より,

 ∠FPB=∠F'PB ですが,これは P が ∠FBF' の内部の領域にあるときのみ可能です。

 そこで,四角形BFPF' が存在するので,四角形BFPF' にトレミーの定理の拡張を適用すると,

 BF・PF'+BF'・PF≧FF'・PB,√a・PF'+√a・PF≧2√(a-3)・PB,

 √a・(PF+PF')≧2√(a-3)・PB,√a・2√a≧2√(a-3)・PB,

 a/√(a-3)≧PB,ただし等号は 四角形BFPF' が円に内接するとき

 つまり,最長の場合は BP=a/√(a-3) になります。

 また,楕円の対称性より Q は y軸 に関し P と対称です。

 さらに,今は △BPQ が正三角形の場合を考えるので,

 BP と y軸 のなす角度は 30゚ ,BP と x軸 との交点を R とすると BR=2 です。

 そして,四角形BFPF' は円に内接するので,∠BPF=∠BF'F=∠BFF',△BFP∽△BRF,

 BF:BR=PB:FB,√a:2=a/√(a-3):√a,√(a-3)=2,a=7

 そこで,BP=QB=PQ=7/√(7-3)=7/2,になります。


☆ 正三角形の1辺は 7/2=3.50 ,面積は (49√3)/16≒5.30 です。

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Comments 20

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ひとりしずか  
No title

これってもしかしてサンシュユ?
赤い実ってなんか幸せな気分にしてくれる~ポチ☆

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
サンシュの実でしょうか
もう完熟状態ですね。
食べる事も出来るらしいのですが味はどうなのでしょう!
小鳥さんだったら文句なしに喜んで食べちゃいますね。 ポチ

いっちゃん  
No title

おはようございます^^
今日もまっかな実。。小鳥さんじゃなくても美味しそう♪
下の赤い楕円形は形が似ていますね。ポチ

アキチャン  
No title

おはようございます!
赤い実は いろいろな種類の木でいっぱいなってますね、
もう、たくさんで種類が分かりません f(^_^;
小さいサンゴのイヤリングを思い出しました (o^-^o) ポチ

Yasuko  
No title

こんにちは♪
赤い実なんでしょう?
この時期いろんな赤い実がなるので・・・
小鳥さんが喜びそうですねぇ~♪

○o。.ポチ☆.。o○

uch*n*an  
No title

これもなかなか楽しめる問題でした。
私の解法は三つ。(解法1)は[解答1]とほぼ同じ。初等幾何にこだわった(解法3)が[解答2]でした。
(解法2)は少し違った解法なので,ご参考までに示しておきますね。

uch*n*an  
No title

(解法2)
BP = r,BP と x軸 のなす角度をθとして,P(r * cosθ,r * sinθ - √3) です。
r の最大値を考えるので r > 0 として十分で,
3(r * cosθ)^2 + a(r * sinθ - √3)^2 = 3a
r = (2√3a * sinθ)/(3 * (cosθ)^2 + a * (sinθ)^2)
r = (2√3a * sinθ)/(3 + (a - 3) * (sinθ)^2)
ここで,0 < θ <= π/2 で考えれば十分で sinθ > 0 より相加相乗平均も使って,
r = 2√3a/(3/sinθ + (a - 3) * sinθ) <= a/√(a - 3)
等号は 3/sinθ = (a - 3) * sinθ,(sinθ)^2 = 3/(a - 3) です。
このとき,△BPQ が正三角形より,
対称性より Q は y軸 に関し P と対称,PQ//x軸,θ = π/3 で,
3/(a - 3) = 3/4,a = 7,BP = QB = PQ = r の最大値 = 7/2,になります。

ニリンソウ  
No title

皆さんに同じでサンシュユ、葉を見て思いました。
綺麗だね~春に咲く黄色い花もいいね~

ポチ

こっこちゃん  
No title

こんばんは
綺麗な赤い実ですね”

赤い実が色々あります 元気を貰えます~ ポチ

ヤドカリ  
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古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
サンシュユ(山茱萸)です。漢字を見てもグミの一種ですね。
紅い実が目立ちました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
サンシュユの紅い実で幸せな気分になられてよかったです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
残念ながら、植物園のものですので、食べるわけにはいきません。笑
山茱萸(やまぐみ)という生薬に利用されるようです。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
紅い実が沢山ついていて、仰る通り美味しそうでした。
紅い実は目立ちますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
イヤリングならやはりフクシアのほうがいいのでは?
去年の秋にも見たのですが、今年はじめてカメラに収めました。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この実はサンシュユ(山茱萸)です。長居植物園で撮りました。
この時期、紅い実が多いので、分からなくなりそうです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、詳しい解答説明を有難う御座います。
離心率 1/√2 を境に最大弦の位置が変わることは、実際に解けばわかります。
この事を示す問題でもありました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
春にここを訪れていませんので黄色の花は見ていません。
来年は見たいです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
紅い実がいちばん綺麗な時に撮れたと思います。
鳥に運ばれてどこかで発芽するのでしょうか?
生命って旨く出来ているものですね。

uch*n*an  
No title

>離心率 1/√2 を境に最大弦の位置が変わることは、実際に解けばわかります。
はい,確かに。
[解答1]では,二次関数の極大値が最大値になるかどうか,
(解法2)では,相加相乗平均の不等式の等号が成立するかどうか,
[解答2]では,□BFPF' が円に内接できるかどうか,
が,その分かれ目になり,当然ですが,どれでも a = 6,e = √(a - 3)/√a = 1/√2,になります。
もっとも,このとき,P は楕円と y軸 との交点になるので,明らかに正三角形はできません。
したがって,この問題は正三角形ができる場合を考えるので,最初から捨ててよく,
>この事を示す問題でもありました。
といわれるとちょっと違う気もしたりして... (^^;

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
作問している間ずっと最大弦の長さが短軸である a の範囲を考えていて、
問題番号に合わせて正三角形にしました。
それゆえ、このようなリコメになってしまいました。
そのため「最初から捨ててよく」は盲点になっておりました。