[答350] 楕円と正三角形

[答350] 楕円と正三角形


　図のように楕円 3x²＋ay²＝3a (a＞3)があって、

　B(0，－√3)とこの楕円上の点を結ぶ弦の長さが最長となるような弦を BP，BQ とします。

　△BPQ が正三角形となる場合、この正三角形の１辺の長さは？


[解答1]

　P(x，y) とすれば 3x²＋ay²＝3a が成り立ちます。

　3BP²＝3{x²＋(y＋√3)²}＝3a－ay²＋3y²＋(6√3)y＋9

　 ＝－(a－3)y²＋(6√3)y＋3a＋9＝……

　 ＝－(a－3){y－(3√3)/(a－3)}²＋3a²/(a－3)

　ここで、－√3≦y≦√3 だから、(3√3)/(a－3)≦√3 であれば、

　y＝(3√3)/(a－3) で、BPの最大値が a/√(a－3) になります。

　BPが最大のとき、△BPQ が正三角形となる場合は、

　(y＋√3)：BP＝√3：2 だから (y/√3＋1)：BP＝1：2 、2(y/√3＋1)＝BP 、

　2{3/(a－3)＋1}＝ a/√(a－3) 、2a/(a－3)＝a/√(a－3) 、2＝√(a－3) 、a＝7 です。

　a＝7 のとき、(3√3)/(a－3)≦√3 が成り立ち、正三角形の１辺は a/√(a－3)＝7/2 です。


[解答2] uch*n*anさんのコメントより

　a＞3 より，楕円の長軸の長さが 2√a，短軸の長さが 2√3 なので，

　F，F' を焦点，P を一般に楕円上の点とすると，

　PF＋PF'＝2√a，F(√(a－3),0)，F'(－√(a－3),0)，BF＝BF'＝√a です。

　ここで，BP が最長のときは，B を中心に半径 BP の円を描くと，

　楕円は円の内部にあり，円と楕円は P で接します。

　そこで，円と楕円の共通接線を考えると，BP⊥接線，焦点の性質より，

　∠FPB＝∠F'PB ですが，これは P が ∠FBF' の内部の領域にあるときのみ可能です。

　そこで，四角形BFPF' が存在するので，四角形BFPF' にトレミーの定理の拡張を適用すると，

　BF･PF'＋BF'･PF≧FF'･PB，√a･PF'＋√a･PF≧2√(a－3)･PB，

　√a･(PF＋PF')≧2√(a－3)･PB，√a･2√a≧2√(a－3)･PB，

　a/√(a－3)≧PB，ただし等号は 四角形BFPF' が円に内接するとき

　つまり，最長の場合は BP＝a/√(a－3) になります。

　また，楕円の対称性より Q は y軸 に関し P と対称です。

　さらに，今は △BPQ が正三角形の場合を考えるので，

　BP と y軸 のなす角度は 30ﾟ ，BP と x軸 との交点を R とすると BR＝2 です。

　そして，四角形BFPF' は円に内接するので，∠BPF＝∠BF'F＝∠BFF'，△BFP∽△BRF，

　BF：BR＝PB：FB，√a：2＝a/√(a－3)：√a，√(a－3)＝2，a＝7

　そこで，BP＝QB＝PQ＝7/√(7－3)＝7/2，になります。


☆ 正三角形の１辺は 7/2＝3．50 ，面積は (49√3)/16≒5．30 です。

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