[答350] 楕円と正三角形
[答350] 楕円と正三角形
図のように楕円 3x2+ay2=3a (a>3)があって、
B(0,-√3)とこの楕円上の点を結ぶ弦の長さが最長となるような弦を BP,BQ とします。
△BPQ が正三角形となる場合、この正三角形の1辺の長さは?
[解答1]
P(x,y) とすれば 3x2+ay2=3a が成り立ちます。
3BP2=3{x2+(y+√3)2}=3a-ay2+3y2+(6√3)y+9
=-(a-3)y2+(6√3)y+3a+9=……
=-(a-3){y-(3√3)/(a-3)}2+3a2/(a-3)
ここで、-√3≦y≦√3 だから、(3√3)/(a-3)≦√3 であれば、
y=(3√3)/(a-3) で、BPの最大値が a/√(a-3) になります。
BPが最大のとき、△BPQ が正三角形となる場合は、
(y+√3):BP=√3:2 だから (y/√3+1):BP=1:2 、2(y/√3+1)=BP 、
2{3/(a-3)+1}= a/√(a-3) 、2a/(a-3)=a/√(a-3) 、2=√(a-3) 、a=7 です。
a=7 のとき、(3√3)/(a-3)≦√3 が成り立ち、正三角形の1辺は a/√(a-3)=7/2 です。
[解答2] uch*n*anさんのコメントより
a>3 より,楕円の長軸の長さが 2√a,短軸の長さが 2√3 なので,
F,F' を焦点,P を一般に楕円上の点とすると,
PF+PF'=2√a,F(√(a-3),0),F'(-√(a-3),0),BF=BF'=√a です。
ここで,BP が最長のときは,B を中心に半径 BP の円を描くと,
楕円は円の内部にあり,円と楕円は P で接します。
そこで,円と楕円の共通接線を考えると,BP⊥接線,焦点の性質より,
∠FPB=∠F'PB ですが,これは P が ∠FBF' の内部の領域にあるときのみ可能です。
そこで,四角形BFPF' が存在するので,四角形BFPF' にトレミーの定理の拡張を適用すると,
BF・PF'+BF'・PF≧FF'・PB,√a・PF'+√a・PF≧2√(a-3)・PB,
√a・(PF+PF')≧2√(a-3)・PB,√a・2√a≧2√(a-3)・PB,
a/√(a-3)≧PB,ただし等号は 四角形BFPF' が円に内接するとき
つまり,最長の場合は BP=a/√(a-3) になります。
また,楕円の対称性より Q は y軸 に関し P と対称です。
さらに,今は △BPQ が正三角形の場合を考えるので,
BP と y軸 のなす角度は 30゚ ,BP と x軸 との交点を R とすると BR=2 です。
そして,四角形BFPF' は円に内接するので,∠BPF=∠BF'F=∠BFF',△BFP∽△BRF,
BF:BR=PB:FB,√a:2=a/√(a-3):√a,√(a-3)=2,a=7
そこで,BP=QB=PQ=7/√(7-3)=7/2,になります。
☆ 正三角形の1辺は 7/2=3.50 ,面積は (49√3)/16≒5.30 です。
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