FC2ブログ

Welcome to my blog

[答351] 三角形の辺の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ



[答351] 三角形の辺の長さ


 ∠A=126゚,AB=4 の△ABCがあり、∠BAD=72゚ になるように BC上に点Dをとると、

 AD=4/3 になりました。このとき、BC=?


[解答1]

 ∠BAD の二等分線とBDの交点をMとし、AD//NM を満たすように AB上に点N をとります。

 AM は △ABDの∠BADの内角の二等分線だから、BM:MD=BA:AD=4:4/3=3:1 、

 よって、BM=(3/4)AD 、

 AC は △ABDの∠BADの外角の二等分線だから、BC:CD=BA:AD=4:4/3=3:1 、

 よって、BC=(3/2)AD 、

 BC=2BM になります。

 次に、△BMN∽△BDA で BM=(3/4)AD だから、MN=(3/4)DA=1 、 BN=(3/4)BA=3 、 NA=1 になり、

 平行線の同側内角で、 ∠ANM=180゚-∠BAD=108゚ になりますので、

 AM は1辺が 1 の正五角形の対角線の長さとなり、 AM=(1+√5)/2 になります。

 また、BC=2BM だから、中線定理より、AB2+AC2=2(AM2+MC2) 、

 更に、∠MAC=90゚ だから、三平方の定理より、AM2+AC2=MC2

 辺々減じて、AB2-AM2=2AM2+MC2 、 MC2=AB2-3AM2 になり、 BC=2MC だから、

 BC2=4AB2-12AQ2=64-3(1+√5)2=46-6√5=(3√5-1)2 、 BC=3√5-1 になります。


[解答2]

 cos72゚=(-1+√5)/4 です。

 △ABDにおいて余弦定理より、

 BD2=42+(4/3)2-2・4・(4/3)cos72゚=16+16/9-(8/3)(-1+√5)

  =16+16/9+8/3-(8/3)√5=(4/9)(46-6√5)={(2/3)(3√5-1)}2

 BD=(2/3)(3√5-1) になります。

 AC は △ABDの∠BADの外角の二等分線だから、

 BC:CD=BA:AD=4:4/3=3:1 だから、BC=(3/2)BD=3√5-1 になります。


[参考]

 [解答2]で、 cos72゚=(-1+√5)/4 を使わずに解くには、下図のように、

 ∠ABE=36゚ ,BE=4 となる点E をとり、AEの中点を H とし、∠AEB の二等分線と AB の交点を F とすれば、

 AE=EF=FB となり、この長さを 2x とします。

 角の二等分線の性質により、EB:EA=BF:FA 、4:2x=2x:(4-2x) 、2:x=x:(2-x) 、

 x2=4-2x 、x=-1+√5 になります。

 また、三平方の定理により、

 BD2=DH2+BH2=DH2+BA2-AH2=(4/3-x)2+42-x2=16/9-8x/3+16

  =160/9-8(-1+√5)/3=(184-24√5)/9=4(46-6√5)/9=4(3√5-1)2/9 、

 BD=2(3√5-1)/3 になります。

☆ ここまでするなら、[解答1]の方が良いですね。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
こっこちゃん  
No title

背の高い 皇帝だりあ

まだ元気で楽しませてくれますね” ポチ

ニリンソウ  
No title

寒い新潟では見かけないと思っていました
偶然見つけて嬉しかった「皇帝ダリア」木かと思うほど
ですね。 ポチ

アキチャン  
No title

おはようございます!
最近、もう少し、低くなってくれないかなぁと思っています(笑)
撮るのに難儀ですよね f(^_^;綺麗ですね~ (o^-^o) ポチ

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
本格的な初冬に成ったようでこうして皇帝ダリアを楽しめるのももう暫らくの間ですね
今年は何時までも暖かい日が続いたおかげで
皇帝ダリアも皇帝ひまわりも存分に楽しめましたね。 ポチ

Yasuko  
No title

こんにちは~♪
皇帝ダリア青空によく似合います~✿
今年は暖かいので長く楽しめますよねぇ~おんぷ
花色が優しいですねぇ~(^o^)✿

○o。.ポチ☆.。o○

uch*n*an  
No title

この問題もいろいろと考えられる楽しい問題でした。私の解法は三つ。
(解法1)は[解答2]と同じでした。(解法2),(解法3)はいずれも初等幾何です。
(解法3)は,AD の延長上に AP = AB = 4 の点 P をとり正五角形と比較して考える解法で,
図や詳細は違いますが,[解答1]に若干似たところもあるかな,という解法です。
(解法2)は大分違うので,ご参考までに示しておきますね。
なお,
>☆ ここまでするなら、[解答1]の方が良いですね。
とのことですが,私はそうは思いません。もちろん[解答1]は見事ですが,
正五角形や中線定理を使わずより基本的な手法で解いている点で[参考]を高く評価しています。

uch*n*an  
No title

(解法2)
△ABC を AC に関して折り返し,B,D の移動先を E,F とします。
すると,CA の延長と BE,DF との交点をそれぞれ H,I とすると,
CH⊥BE,BH = EH,CH⊥DF,DI = FI,△CBE と △CDF は相似な二等辺三角形,
∠BAE = 108°= ∠DAF,△ABE と △ADF は頂角が 108°の相似な二等辺三角形です。
そこで,AH:AI = BE:DF = AB:AD = 4:(4/3) = 3:1,AH:IH = 3:4,
CH:CI = BE:DF = 3:1,CH:IH = 3:2 = 6:4,CH:AH = 6:3 = 2:1,になります。

uch*n*an  
No title

ここで,△ABE は正五角形の二つの辺と対角線でできる三角形と相似になっています。
[347]で行ったように,正五角形の一辺の長さを 1,対角線の長さを x とすると,
相似を使って,x^2 - x - 1 = 0,x = (√5 + 1)/2,なので,この x を使うと,
AB = 4,BE = 4x,BH = 2x,AH^2 = AB^2 - BH^2 = 16 - 4x^2,
CH^2 = (AH * 2)^2 = AH^2 * 4 = 64 - 16x^2,
BC^2 = BH^2 + CH^2 = 4x^2 + (64 - 16x^2) = 64 - 12x^2 = 52 - 12x
= 46 - 6√5 = (3√5 - 1)^2
そこで,BC = 3√5 - 1,になります。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
正五角形ってことに気づけなきゃいけませんでした...^^;
そうでないと...cos18°などの値の出し方につまづいてしまうはずですよね...わたしは...貴殿の記事から借用=ズルしてしまいました...Orz...

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
こちらでは沢山見られます。
皇帝ダリアは大きいですが、花の色は優しい色です。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
確かに見上げていると首が痛くなりますね。
写真を撮ったらさっさと離れて遠くから見ます。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
皇帝ダリアはまだまだ元気ですよ。
貴女は元気になりましたか?

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
新潟でも咲いているのですか。
本当に大きくて樹木のようです。毎年この時期の楽しみです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
写真を撮るときはもう少し低い方が助かりますが、
遠くから目立つ高さもいいです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
そうですね。本格的な冬を迎える前の立派な姿です。
今年は長く楽しめて皇帝ダリアにとってはいいですね。

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この日は少し曇りがちでしたが、青空にも夕焼けにも映える花です。
そして、仰る通り、優しい色の花です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと解答を有難う御座います。
[解答2]が私の想定解で、cos72゚を使わないとかなり冗長になるので、
cos72゚を使わないなるべく短い解答を目指して[解答1]をひねり出しました。
それで、
> 基本的な手法で解いている点で[参考]を高く評価しています。
は、有難いお言葉ながら、私には想定外でした。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
cos72゚ や cos36゚ は正五角形の性質と併せて求められます。
記事を理解していれば簡単に求められますので、もう一度ご覧下さい。

いっちゃん  
No title

せいたかのっぽの皇帝ダリアですね。
青空に透けてる花びらが好きです。きれいですね。。
わたしも先日ずっと眺めていたら首がいたくなりました。笑。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
そちらでも咲いているのですね。
空に向かって咲くこの花は見事だと思います。
短期間によくこれだけ成長するものです。