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[答352] 三角関数の値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答352] 三角関数の値


 (cosα+cosβ):(sinα+sinβ)=13:9 のとき、 cos(α+β)=?


[解答1]

 cosα+cosβ=13k , sinα+sinβ=9k とすれば、

 cos2α+cos2β+2cosαcosβ=169k2

 sin2α+sin2β+2sinαsinβ=81k2

 2式を加えると、2+2cos(α-β)=250k2

 2式を減じると、cos2α+cos2β+2cos(α+β)=88k2

 2cos(α+β)cos(α-β)+2cos(α+β)=88k2

 { 2cos(α-β)+2 }cos(α+β)=88k2

 250k2cos(α+β)=88k2

 よって、cos(α+β)=44/125=0.352 になります。


[解答2]

 (sinα+sinβ)/(cosα+cosβ)=9/13 、

 sinα+sinβ=2sin{(α+β)/2}cos{(α-β)/2} 、cosα+cosβ=2cos{(α+β)/2}cos{(α-β)/2} 、

 よって、 tan{(α+β)/2}=9/13 になります。

 tan(θ/2)=t のとき cosθ=(1-t2)/(1+t2) と表せるから、

 cos(α+β)={1-(9/13)2}/{1+(9/13)2}=44/125 になります。


[解答3] uch*n*anさんの解答より

 x=cosα+i・sinα,y=cosβ+i・sinβ とおくと,|x|=|y|=1 で,

 x+y=(cosα+cosβ)+i・(sinα+sinβ)

 (cosα+cosβ):(sinα+sinβ)=13:9 より,k を実数として,

 x+y=k(13+9i),|x+y|=√250・|k|

 ここで,x+y=0 は比が 0:0 になって定まらずありえないので,

 複素平面上で 0,x,y,x+y はひし形を作り,arg(x+y)=(α+β)/2 で,

 x+y=√250・|k|・〔cos{(α+β)/2}+i・sin{(α+β)/2}〕=(13+9i)k

 cos{(α+β)/2}+i・sin{(α+β)/2}=(13+9i)k/(√250・|k|)

 2乗して,cos(α+β)+i・sin(α+β)=(88+234i)/250=(44+117i)/125

 そこで,cos(α+β)=44/125=0.352 になります。

☆ 複素数 z の共役複素数を z~ で表せば,

 (x+y)~ の偏角は -(α+β)/2,|(x+y)/(x+y)~|=1 なので,

 (x+y)/(x+y)~ の実部が cos(α+β) です。

 そこで, (x+y)/(x+y)~=(13+9i)k/{(13+9i)k}~=(13+9i)/(13-9i)=44/125+(117/125)i

 cos(α+β)=44/125=0.352 になります。


[解答4] uch*n*anさんのコメントを参考に

 x=cosα+i・sinα,y=cosβ+i・sinβ とおくと、

 xy=cos(α+β)+i・sin(α+β) なので、xy の実部を求める問題になります。

 x+y=(cosα+cosβ)+i・(sinα+sinβ) で (cosα+cosβ):(sinα+sinβ)=13:9 だから、

 (x+y)/|x+y|=(13+9i)/|13+9i|=(13+9i)/√250 です。

 また、(x+y)2/xy=x/y+2+y/x で、x/y と y/x は共役だから、(x+y)2/xy は実数になり、

 xy は (x+y)2 の実数倍で、 |xy|=1 だから、

 xy=(x+y)2/|x+y|2=(13+9i)2/250=(44+117i)/125 、

 実部は cos(α+β)=44/125 です。 (虚部は sin(α+β)=117/125 です)


[解答5] uch*n*anさんの解答より

 (cosα+cosβ):(sinα+sinβ)=13:9 より, 9・cosα-13・sinα=-9・cosβ+13・sinβ

 そこで,cosφ=9/√250,sinφ=13/√250 として, √250・cos(α+φ)=-√250・cos(β+φ)

 cos(α+φ)+cos(β+φ)=2cos{(α+β)/2+φ}cos{(α-β)/2}=0

 これより,n を整数として,(α+β)/2=(2n-1)π/2-φ 又は (α-β)/2=(2n-1)π/2 です。

 しかし,後者は β=α-(2n-1)π なので,

 cosα+cosβ=cosα+cos{α-(2n-1)π}=cosα-cosα=0

 sinα+sinβ=sinα+sin{α-(2n-1)π}=sinα-sinα=0

 となって,比が 0:0 になり定まらず不適です。

 そこで,(α+β)/2=(2n-1)π/2-φ だけが可能で,

 cos(α+β)=2・cos2{(α+β)/2}-1=2・cos2{(2n-1)π/2-φ}-1=2・sin2φ-1

  =2・(13/√250)2-1=2・169/250-1=88/250=44/125=0.352

 になります。

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Comments 20

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

よく見かけます。花が大きいと綺麗だなって・・・
これだけ密生してると、御花畑の感ありです・・・ポチ☆

アキチャン  
No title

おはようございます!
今日の記事のようです。びっしりですね(笑)
毎日、問題提出お疲れ様です!
解けずに傍観者でいますf(^_^; ポチ

ニリンソウ  
No title

イヌタデがびっしり、来年はもっといっぱい!
邪魔にもならないので賑やかにしておきましょう。
明日から師走、早いね~~~~!

ポチ

uch*n*an  
No title

この問題もいろいろと考えられる楽しい問題でした。
私は,四つ+バリエーション三つ,合計七つ,の方法で解きました。
(解法1)が,若干計算の仕方が違いますが,ほぼ[解答2]と同じ,
(解法1)のバリエーションが,計算の仕方は違いますが,精神は[解答1]と似ています。
(解法2)は,考え方がかなり違うので,ご参考までに示しておきましょう。
(解法3)が[解答3],そのバリエーション1が☆で,
そのバリエーション2が,若干計算の仕方が違いますが,ほぼ[解答4]と同じです。
私は,xy の計算を,|x|^2 = xx~ = |y|^2 = yy~ = 1 を使って,
x + y = |y|^2 * x + |x|^2 * y = xyy~ + xyx~ = (x + y)~ * xy
xy = (x + y)/(x + y)~ = (x + y)^2/|x + y|^2
としました。
(解法4)は,(解法3)を座標平面上でより幾何学的に詰めたもので,
最終的には,三平方の定理か余弦定理で計算するものです。

uch*n*an  
No title

(解法2)
(cosα + cosβ):(sinα + sinβ) = 13:9 より,
9 * cosα - 13 * sinα = - 9 * cosβ + 13 * sinβ
そこで,cosφ = 9/√250,sinφ = 13/√250 として,
√250 * cos(α+φ) = - √250 * cos(β+φ)
cos(α+φ) + cos(β+φ) = 2cos((α+β)/2 + φ)cos((α-β)/2) = 0
これより,n を整数として,(α+β)/2 = (2n-1)π/2 - φ 又は (α-β)/2 = (2n-1)π/2 です。

uch*n*an  
No title

しかし,後者は β = α - (2n-1)π なので,
cosα + cosβ = cosα + cos(α - (2n-1)π) = cosα - cosα = 0
sinα + sinβ = sinα + sin(α - (2n-1)π) = sinα - sinα = 0
となって,比が 0:0 になり定まらず不適です。
そこで,(α+β)/2 = (2n-1)π/2 - φ だけが可能で,
cos(α+β) = 2(cos((α+β)/2))^2 - 1 = 2(cos((2n-1)π/2 - φ))^2 - 1 = 2(sinφ)^2 - 1
= 2 * (13/√250)^2 - 1 = 2 * 169/250 - 1 = 88/250 = 44/125 = 0.352
になります。

こっこちゃん  
No title

こんにちは

イヌタデの群集ですね
見つめると 可愛い花ですネ。 ポチ

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
わたしは...uch*n*anさんの(解法2)と同じような感じで...ま、もっともっそりとですけど ^^;

やどかりさんの[解法2]は...
sinα+sinβ=2sin{(α+β)/2}cos{(α-β)/2} 、
cosα+cosβ=2cos{(α+β)/2}cos{(α-β)/2}
なら...
sin{(α+β)/2}/cos{(α+β)/2}=9/13
(1-x^2)/x^2=9^2/13^2
13^2*(1-x^2)=9^2*x^2
250*x^2=13^2
cos(α+β)=2x^2-1
=13^2/125-1
=44/125
でもいいですよね...^^v

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
たでの花もこうやって見ると見事ですねー
田舎では畑に一杯出来てきらわれ者だった様に記憶しています。
雑草も邪魔に成らなければ綺麗な物が一杯ですね。 ポチ

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
アップでも撮ったのですが、やはり群生の方がよかったので、この写真にしました。

ヤドカリ  
No title

rnaga99さん、初めまして。
訪問とコメントを有難う御座います。
よろしければまた訪問して下さい。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ひとつひとつは目立たなくても集団になると景色を変えます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ビッシリ咲いていました。
今日の解答もビッシリですか?

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このタデは古墳の周りの囲いの中に生えていました。
邪魔にはなりませんね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと解答を有難う御座います。
本問は三角関数の公式を確認するための問題でしたが、
貴殿の複素平面の解法を私なりに考え、まとめきれませんでした。
なお、(解法2)は[解答5]として追加させて頂きました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
イヌタデのような雑草と認識されている草でも、こうして見ると可愛いです。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
その通りですが、
直接導けるのは tan ですので、cos の倍角を使うより、シンプルに表せますので、
この解答にしました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとポチを有難う御座います。
農家にとっては雑草でしょうね。
商品価値があれば、農家の方々にも好かれるのに残念です。

Yasuko  
No title

こんばんは♪
すごい群生して咲いてますねぇ~✿
群生して咲いているのは初めて見ます~~。
明日から師走に入りますねぇ~忙しくなってきそうです^^;

○o。.ポチ☆.。o○

ヤドカリ  
No title

yasukoさん、コメントとポチを有難う御座います。
これだけの群生になるといやでも目立ちます。
今年もあと1ヶ月、早いものですね。来月もよろしく。