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[答354] 弦の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ



[答354] 弦の長さ


 図のように、AB=50 を直径とする半円があり、中に小さな円が、半円の弧と点Pで、直径と点Qで

 接しています。PからABに垂線PHをおろすと、PH=7 になりました。このとき、PQ=?


[解答1]

 ABの中点をO,円の中心をCとします。

 また、O(0,0),A(-25,0),B(25,0),C(a,b),P(p,7) (p>0) と座標を決めます。

 p2+72=252 だから、

 p2=(25+7)(25-7)=32・18 、p=24 、P(24,7) になります。

 OC:CP=OC:CQ=OP:PH=25:7 だから、C(24・25/32,7・25/32) 、C(75/4,175/32) になり、

 Q(75/4,0) です。

 PQ=√{(21/4)2+72}=(7/4)√(32+42)=35/4 です。


☆ Pでの接線は 24x+7y=625 だから、この接線と x軸の交点を R とすれば R(625/24,0) で、

 PR=√{(49/24)2+72}=(7/24)√(72+242)=175/24 です。

 QR=PR だから、625/24-175/24=75/4 、Q(75/4,0) としても求められます。


[解答2]

 ABの中点をO,円の中心をCとします。

 2∠APC=∠APC+∠PAO=∠COQ 、2∠QPC=∠QPC+∠PQC=∠OCQ 、

 よって、2(∠APC+∠QPC)=∠COQ+∠OCQ 、2∠APQ=90゚ 、∠APQ=∠BPQ=45゚ です。

 次に、AH+BH=50,AH・BH=PH2=49 (ABに関して対称な図を書くと方べきの定理) だから、

 AH,BH は x2-50x+49=0 の解で、AH=49,BH=1 です。

 三平方の定理より、PA=35√2,PB=5√2 になります。

 ここで、2△PAQ+2△PBQ=2△PAB だから、

 35√2・PQ/√2+5√2・PQ/√2=35√2・5√2 、40・PQ=350 、PQ=35/4 です。

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Comments 17

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古い人  
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今日の花もよく見る花ですね。

菊科の花かな???デージーとか分かりません。
花壇で良く見かけますが泣き。
ポチ。

さっちゃんこ  
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おはようございます
今日の花はガーベラでしょうか
淡いピンクの色" いまはあまり見かけない色のようです。静かにたたずむ姿がステキですね ポチ

アキチャン  
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おはようございます。
淡い色合いですね♪ 雨に濡れています。。涙に見えていますf(^。^;
ポチ♪

ひとりしずか  
No title

ガーベラのピーチケーキでしょうか・・・
ケーキの名前が付いてるって面白い~
存在感の有る花ですよね―ポチ☆

Yasuko  
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おはようございます♪
今日のお花はガーベラでしょうか?
淡いピンクがとっても優しい感じがします~(^o^)/✿

○o。.ポチ☆.。o○

uch*n*an  
No title

この問題は,O,C,P が同一直線上にあることに気付けば比較的容易な問題でした。
私の解法は五つ。
(解法1)は初等幾何ですが,実質[解答]と同じ。というか,[解答]は実質初等幾何ですね。
(解法2)と(解法5)も初等幾何です。少し違うのでご参考までに示しておきましょう。
(解法3)は座標です。[解答]に少し似ていますが,はるかに座標らしい道具を使った解法です。
(解法4)も座標です。二つの円の P での共通接戦を二つの方法で導き,その比較から解く,
という,ちょっと変わった解法です。

uch*n*an  
No title

(解法2)
AB の中点,大きな円の中心,を O,小さな円の中心を C,半径を r とします。
OP = 25 で,二つ円は接するので共通接線と OP,CP は直交します。
そこで,O,C,P はこの順に同一直線上にあります。
CQ⊥AB より △OCQ ∽ △OPH で,OC:OP = CQ:PH,(25 - r):25 = r:7,r = 7 * 25/32。
ここで,OP と 円C との交点を R とすると,
円C は AB と Q で接し ∠PRQ = ∠PQH,PR は 円C の直径より ∠PQR = 90°= ∠PHQ,
となって,△PQR ∽ △PHQ になります。これより,
PR:PQ = PQ:PH,PQ^2 = PR * PH = 7 * 25/32 * 2 * 7 = (35/4)^2
そこで,PQ = 7 * 5/4 = 35/4,になります。

uch*n*an  
No title

(解法5)
AB の中点,大きな円の中心,を O,小さな円の中心を C とします。
OP = 25 で,二つ円は接するので共通接線と OP,CP はそれぞれ直交します。
そこで,O,C,P はこの順に同一直線上にあります。
ここで。OP と 円C との交点を R とすると,PR は 円C の直径なので ∠PQR = 90°で,
円C は AB と Q で接するので ∠OPQ = ∠RQO = 90°- ∠PQH = ∠HPQ,となって,
OQ:HQ = PO:PH = 25:7,OH = √(25^2 - 7^2) = 24,QH = 24 * 7/32 = 7 * 3/4
そこで,△QHP は 3:4:5 の直角三角形なので,PQ = 7 * 5/4 = 35/4,になります。

ニリンソウ  
No title

こんにちは~風が冷たいですよ。
ガーベラがまだ咲いてる暖かい地方が羨ましいね。

ポチ

こっこちゃん  
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こんにちは

ガーベラ 弱く見える ハナですが
真は 強いので 好きな花です~
見るたび元気 もらいます。 ポチ

ヤドカリ  
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古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
園芸種にもいろいろあって、名前が混乱することもあります。
この花はガーベラで、調べたら11月2日の誕生花だそうです。

ヤドカリ  
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さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
調べたら、ピンクのガーベラの花言葉は「熱愛」「崇高美」「童心に帰る」とありました。
童心に帰って、静かにたたずむのもいいですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この淡い色合いの花は私も好きです。
雨の止んだ朝に撮りました。

ヤドカリ  
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yasukoさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
淡いピンクの花は安らぎを感じます。
この花は堺市の都市緑化センターで撮りました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントと解答を有難う御座います。
> そこで,O,C,P はこの順に同一直線上にあります。
2円が内接でも外接でも接するときは、2つの中心を通る直線上に接点があることを、
私は、無意識に使いました。
また、座標を使ったのは、図形での説明より簡潔に書けるとおもったからで、
座標で何とかしようと思ったわけではありませんので、仰る通り、実質は初等幾何です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
まだ咲いています。長い間、何度か見ました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
弱そうですが、菊よりずっと長い間楽しる、芯の強い花ですね。
元気をどんどん貰って下さい。