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[答35] 4点を通る正方形の面積

ヤドカリ

ヤドカリ



[答35] 4点を通る正方形の面積


 図のように1目盛が1cmの方眼紙と4点が与えられている。

 この4点が、正方形の各辺に1つずつある場合、その正方形の面積は?



[解答1]

 それぞれの点の座標をA(0,3),B(3,0),C(7,4),D(4,8)とします。

 A,Bを通る正方形の辺は垂直で、ax+b(y-3)=0, b(x-3)-ay=0 と表されます。

 C,Dからの距離はヘッセの公式で、|7a+b|/√(a2+b2)=|b-8a|/√(a2+b2)

 これを解いて、a=0 または a=2b。

 a=0 のときは各点が正方形の辺の延長上にあることになります。

 a=2b のときは各点が正方形の辺上にあり、|7a+b|/√(a2+b2)=3√5。

 これが正方形の1辺の長さで、面積は、45cm2 です。


[解答2]

 右の図のように、4点のうち3点を決めて、水色のような長さが等しく垂直な線分を書いて、青い点をとります。

 この青い点は、求める正方形の周上の点になり、残った点とをつなぐと正方形の1辺となります。

 あとは、最初の3点を通るように、垂直に辺を書くだけで、正方形が得られます。

 その1辺の長さは緑の線分の長さと等しく、三平方の定理で√45。

 したがって、正方形の面積は、45cm2 です。

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Comments 10

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ニリンソウ  
No title

秋も深まって菊祭りが開かれる頃ですね。
この花咲かせるには一年通しての苦労が伺えます。

スモークマン  
No title

ヤドカリさんへ ^^
【解答2】の意味がわかりました♪
わたしの問題3034の性質を使えばいいわけですね...^^
作図で求めるなら...ペアの直線に直交して、それぞれ同じ長さの直線をもとめ、直交する直線が求める正方形になるんですよね♪

再出発  
No title

鮮やか!
参っています。。。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、花を育てられているニリンソウさんらしいコメントをありがとうございます。
淡路島で妻が撮影してきたものです。美しいです。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、この解法2は言われたら納得できるけど思いつかないものですね。
私は知っていて問題化しました。

ヤドカリ  
No title

再出発さん、私のブログの記念すべき1000コメ目です。
これからもコメント下さいね。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
淡路島には、お花がじゅうたんのように咲いてる場所があり
(名前は忘れました)展望台から明石大橋も見えてとっても
素敵なところだそうです。。
ひょっとしたらそこかもしれませんね。
たくさんのお花いいですね。。ポチ

再出発  
No title

え~っ!
すごいすごい。
そんなことになっていたんですか~
力不足ですけど、脳みそ鍛えてたくさん書きます。
だらだら書くのは得意なんですけど・・・

偶然こちらのサイトに出会ってから、ずるずると新たな発見
(なのか忘れていたことなのか分かりませんが)が多く、
楽しんでいます。
身近だったはずの数学なのに、この数十年の間まったく精進していなかった事に気づいたのです。
そして楽しいと分かっていたはずだけど、楽しんでいなかったことにも気づかされました。
感謝しています。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、淡路島に入ってすぐにSAがあります。
そこでの眺めはいいですよ。
花が見られる所は何か所かあります。

ヤドカリ  
No title

再出発さん、私は数学を楽しむことも1つの目的でブログを始めました。
これからもコメント下さい。お互いに愉しみましょう。