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[答357] 大円・小円の半径

ヤドカリ

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[答357] 大円・小円の半径


 Aを中心とする大円と Bを中心とする小円が 点Pで内接していて、

 ∠PBQ=120゚ を満たす小円の周上の点Qでの接線と大円の交点をC,Dとします。

 大円と小円にはさまれる(大円の内側で小円の外側の)部分の面積も、

 弦CDを直径とする円の面積も 1176π であるとき、 大円・小円の半径は?


[解答]

 まず、πAP2-πBQ2=1176π だから、AP2-BQ2=1176 になります。

 CDの中点をMとすると、三平方の定理より、AC2-AM2=CM2

 πを掛けて、πAC2-πAM2=πCM2 、πAP2-πAM2=1176π 、

 よって、AM=BQ になります。

 直線CDに関して、A,Bが同じ側にあれば、AM<BQ ですので、

 直線CDはA,Bの間を通ることになり、実際は右図のようになります。

 30゚,60゚ を含む直角三角形の辺の比より、AB/2=2BQ だから、AP=5BQ になります。

 AP2-BQ2=1176 に代入して、24BQ2=1176 、BQ2=49 、

 BQ=7,AP=35 で、大円の半径は 35,小円の半径は 7 です。


[参考]

 次のようにすれば、直線CDとA,Bの位置関係を考えずに処理できます。

 大円の半径をa,小円の半径をb とし、座標平面上で、B(0,0),A(a-b,0) とすれば、

 Q(b/2,b(√3)/2) になり、接線CDは bx/2+b(√3)y/2=b2,x+(√3)y-2b=0 です。

 [解答]のように、この直線とAの距離は小円の半径bに等しいから、

 |a-b-2b|/2=b 、|a-3b|=2b 、a=5b,b となりますが、a=b は適しません。

 よって、a=5b すなわち AP=5BQ になります。

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Comments 15

There are no comments yet.
ニリンソウ  
No title

おはようございます!
昨日の花と色違いね~花びらがハートになってるね。

ポチ

アキチャン  
No title

おはようございます。
ほんと、ハートが濡れているf(^。^;
うれし涙かしら(笑)ポチ♪

古い人  
No title

此花も花びらに特徴がありますね。

色も形も可愛い花ですね。 ポチ。。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
先日のとはちょっと違う濃い目のピンク
雨の雫がよりはっきりと見えますね。
こんなに色取り取りに咲いている所
此の目で観たいですねー ポチ

ひとりしずか  
No title

目ん玉みたいな図形面白い~(笑)

真ん中のがしべかなぁ―
濃いめのピンクが存在感に~ポチ☆

uch*n*an  
No title

どうも最近はいまひとつ冴えず,
「弦CDを直径とする円」で CD の中点に気付かないといけないのですが,
いろいろと遠回りをしてしまいました。
[解答]の「AM=BQ」を導き図を確定する辺りはうまいですね。
私の解法は三つ。
(解法1)は座標です。それなりに標準的とは思いますが,[参考]よりは遠回りです。
(解法2)は方べきの定理を主体にした初等幾何ですが,やはり遠回りです。
(解法3)も初等幾何。[解答]には見劣りしますが,まぁまぁかなぁ。
ご参考までに書いておきますね。

uch*n*an  
No title

(解法3)
大円,小円の半径を R,r,R > r > 0,P での共通接線と Q での 円B の接線の交点を T,
C は QT 上,CD と 円A の直径との交点を E,CD の中点を M とします。CD⊥AM です。
∠TBP = ∠ETP = ∠EBQ = 60°,AM//BQ,∠EAM = 60°より,点の位置関係も加味して,
TP = √3 * r,EP = 3r,EB = 2r,AB = R - r,EA = |R - 3r|,AM = |R - 3r|/2
(CD/2)^2 = CM^2 = AC^2 - AM^2 = R^2 - (R - 3r)^2/4 = 3(R + 3r)(R - r)/4
これより,面積の条件は,
R^2 - r^2 = (R + r)(R - r) = 1176 = 3(R + 3r)(R - r)/4
R > r > 0 より,R = 5r になり,
R^2 - r^2 = 24r^2 = 1176,r = 7,R = 35
つまり,大円の半径が 35,小円の半径が 7,になります。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは、最初からこの図になると思い込んだのかできたけど...^^;

R^2-((R-3r)/2)^2=R^2-r^2=1176
r^2=((R-3r/2)^2
r=(R-3r)/2
R=5r
R^2-r^2=24r^2=1176
r^2=49
r=7
(R,r)=(35,7)

but...今その式をどうやって出したのか思い出せなかったり...?...
あれぇ~...ボケボケ...Orz...

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
これもサンバチェンスです。
ハート型は意識しませんでしたが、流石に女性ですね。
すぐ気付かれるのだから。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
写真に撮られて、貴女にも見られての、うれし涙ですょ。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
撮ったときはあまり感じなかったのですが、あとで見ると、仰るとおり、
色も形もかわいい花ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
何色か並べられていましたので、きれいな花を選んで撮りました。
花が小さい時から何度も見ましたよ。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
図が目玉に見えますか。そんな見方は作問していて全然しませんでした。
サンバチェンスは中央まで見ていませんでした。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと解答を有難う御座います。
円と直線(弦)があれば、私はすぐ中心と直線の距離を考えます。
その延長でこの問題を作りました。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
式だけでなく、上のuch*n*anさんの解答のように説明を加えておくと、
「その式をどうやって出したのか思い出せなかった」ということはないと思います。