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[答358] 正五角形どうしの面積比

ヤドカリ

ヤドカリ



[答358] 正五角形どうしの面積比


 1辺の長さが 1 の正五角形ABCDEの辺上に、図のように、AP=BQ=CR=DS=ET となるように、

 点P,Q,R,S,T をとって、正五角形PQRSTを作ります。

 正五角形ABCDEと正五角形PQRSTの面積比が 16:11 のとき、AP=?

 ただし、AP>1/2 とします。



[解答]

 対角線の長さを a とすれば、相似より、

 1:a=(a-1):1 、a2-a-1=0 、 a=(1+√5)/2 になります。

 次に、△ABE の BE を底辺とするときの高さを h とすれば、(h=sin72゚)

 正五角形ABCDE=△ABE+△BCE+△CDE=(1/2)・1・h+(1/2)・a・h+(1/2)・1・h=(1+a/2)h 、

 AP=x とすれば、PT を底辺とするときの△APTの高さは xh なので、 △APT=(1/2)(1-x)xh 、

 正五角形ABCDE:△APT=16:1 だから、(1+a/2)h:(1/2)(1-x)xh=16:1 、

 (2+a):x(1-x)=16:1 、16x(1-x)=2+a 、16x2-16x+(2+a)=0 、

 16x2-16x+4=2-a 、4(2x-1)2=2-a 、16(2x-1)2=8-4a 、

 16(2x-1)2=6-2√5 、x>1/2 だから、

 4(2x-1)=√5-1 、x=(3+√5)/8 になります。

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Comments 14

There are no comments yet.
さっちゃんこ  
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おはようございます
「何の花でしょう」
宵待草にも似ていますが季節が違いますよね。
名前は判りませんがとても綺麗な花ですね。 ポチ

tsuyoshik1942  
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何の工夫もせず(出来ず)、AP=x、AT=1-x、PT=√11/16と置き、計算しました。

中学の修学旅行以来55年ぶりに奈良を訪れました。メインは日曜日の奈良マラソンでしたが、前後の土、月に奈良公園、平城京跡、唐招提寺、薬師寺、法隆寺を見学しました。鹿と大仏さんに、少年時代の思いを馳せました。

アキチャン  
No title

おはようございます。
めしべとおしべの形が跳ねていて、ユニークですね(o^-^o)
きれいなビタミンカラーですね♪ ポチ♪

ひとりしずか  
No title

コマツヨイグサみたいですが・・・
澄んだ綺麗な黄色が惹かれる~ポチ☆

uch*n*an  
No title

私の解法も[解答]と同じですが,相似だけで十分なので初等幾何で解きました。
私には,見かけだけでも三角関数があるとより難しく見えますが,まぁ,人様々。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
なるほどぉ~♪
5角形の相似は...難しい?...なかなか気づけず...^^;
三角関数頼み+wolfranalfa頼みという...反則技でした...Orz...

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
古墳の周りの土手に咲いていました。
下にひとりしずかさんが書かれているように、コマツヨイグサだと思います。
花のすぐ下にあるように、しおれて橙色に変色するのが特徴です。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
久しぶりの奈良で新たな感動を味わわれたのですね。
唐招提寺、薬師寺、法隆寺は東大寺とともに有名ですが、
新薬師寺や秋篠寺やコスモスの般若寺もおもしろいです。

私が貴殿の年になって、いま出題している問題を解けるかどうか疑問です。
今後も解答をお願いします。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
古墳の土手に咲いていて、この黄色が目立ちました。
この時期、寒くなってきて、黄色は元気の出る色です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
多分、コマツヨイグサで間違いないと思います。
黄色がまばゆく、カメラを向けました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
実質、同じことですが、三角比を避けて書き直しました。
私は図を描く関係上、補助線が多いのは困るのですが、今回は言葉で処理できました。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
三角関数でも、この問題には適しませんが座標でも、
手計算で解ければよいと私は思っています。
wolfranalfa頼みはちょっと……。

tsuyoshik1942  
No title

「般若寺」どこかで目にした記憶はありましたが、ここで紹介された場所であることは、その時、頭にありませんでした。
土曜日、受付の鴻池運動公園に行くとき、そこと東大寺の大まかな地取りを頭に入れ奈良公園へ行きました。大仏拝観後、西に歩き最初にぶつかったバスに乗りました。間違ったバスと気づき降りたバス停が「般若寺」でした。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
「般若寺」のバス停まで行かれたのですか。
水仙でも有名ですが、機会があればコスモスの時期がお勧めです。