FC2ブログ

Welcome to my blog

「x^2-2y^2=±1」の0以上の整数解

ヤドカリ

ヤドカリ


'


「x2-2y2=±1」の0以上の整数解

☆ ペルの方程式
 nを与えられた自然数として、「x2-ny2=±1」を満たす0以上の整数x,yを求める問題が
 ペルの方程式と言われるものです。

まず、「x2-2y2=1」を解いてみましょう。
 y=0 のとき明らかに x=1 です。
 y≧1 のとき、
 x2-y2=y2+1 より、(x+y)(x-y)=y2+1>0 だから、x-y>0
 x-y=q(q>0) とおくと、x+y=2y+q、(2y+q)q=y2+1、y2-(2y+q)q=-1、
 (y-q)2-2q2=-1 になります。
 また、y(y-2q)=q2-1≧0、y-2q≧0、y-q≧q>0 になります。
 y-q=p(p>0) とおくと、p2-2q2=-1 です。
 「x2-2y2=1」の解は、x=1, y=0 または
x2-2y2=-1 の解 p,q を使って、x=p+2q, y=p+q になります。

次に、「x2-2y2=-1」を解いてみましょう。
 y=0 のとき明らかに xの値がないので、y≧1 です。
 x2-y2=y2-1 より、(x+y)(x-y)=y2-1≧0 だから、x-y≧0
 x-y=q(q≧0) とおくと、x+y=2y+q、(2y+q)q=y2-1、y2-(2y+q)q=1、
 (y-q)2-2q2=1 になります。
 また、y(y-2q)=q2+1>0、y-2q>0、y-q>q≧0 になります。
 y-q=p(p>0) とおくと、p2-2q2=1 です。
 「x2-2y2=-1」の解は、
x2-2y2=1 の解 p,q を使って、x=p+2q, y=p+q になります。

以上のことから、(p,q)に(p+2q,p+q)を対応させることによって、
 「x2-2y2=1」の解が「x2-2y2=-1」の解に、「x2-2y2=-1」の解が「x2-2y2=1」の解に、
 変わっていくことが分かりました。
 「x2-2y2=1」の解である(x,y)=(1,0)から始めて、
 (1,0)→(1,1)→(3,2)→(7,5)→(17,12)→(41,29)→(99,70)→(239,169)→(577,408)→(1393,985)
 →(3363,2378)→(8119,5741)→(19601,13860)→(47321,33461)→…
 となり、「x2-2y2=1」の解と「x2-2y2=-1」の解が交互に出ています。

なお、(p,q)→(p+2q, p+q)→(3p+4q, 2p+3q) だから、
 (p,q)に(3p+4q, 2p+3q)を直接対応させることによって、
 (1,0)→(3,2)→(17,12)→(99,70)→(577,408)→(3363,2378)→(19601,13860)→…
 (1,1)→(7,5)→(41,29)→(239,169)→(1393,985)→(8119,5741)→(47321,33461)→…
 となり、「x2-2y2=1」の解と「x2-2y2=-1」の解が別々に出ます。

[追記]
 漸化式として解けば、{(1+√2)n+(1-√2)n}/2 , {(1+√2)n-(1-√2)n}/(2√2)
 n≧0 において、(1-√2)n/2≦1/2 に注意すると、
 (1+√2)n/2 , (1+√2)n/(2√2) の小数以下を四捨五入したもの ということができます。

.

スポンサーサイト



Comments 10

There are no comments yet.
uch*n*an  
No title

解説をありがとうございます。
ところで,写真の花は何というのですか? ダリア? 菊の一種?

いっちゃん  
No title

おはようございます。。
大きなダリアですね。淡路島には素敵な花園があるのですね。。

ダリアって和名は「天竺牡丹」と言うそうです。
オランダから渡来し 中国の牡丹に
似ていることから 天竺牡丹の 名がついたそうな。。^^ポチ

uchinyan  
No title

あ,ありがとうございます。やはり,ダリアでしたか。
何か,私のイメージと少し違ったので,違うのかな,と思って。
>ダリアって和名は「天竺牡丹」と言うそうです。
へぇーそうなんだ。でも,何となく分かる気もします。
ただ,この写真の花は牡丹らしくないような感じも...(^^;

いっちゃん  
No title

「ただ,この写真の花は牡丹らしくないような感じも...(^^; 」
実は私もそう思います^^
セサミのエルモに雰囲気が似ていません??クスッ

やどかりさん、お留守に好き勝手なことを言って申し訳ありません。
sorry

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難うございます。
この説明は、次の解答を厳密なものにしたかったからです。
ところで、花はダリアに間違いないそうです。写真を撮った妻に確認しました。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチ、有難うございます。
留守中に好き勝手なことを言っているのはダリア?
って、あまりにもくだらないですね。

-  
No title

うぁ~~
全然分かりません~~
今習ってる1次方程式もわかりませーん

スモークマン  
No title

ばんは ^^
ペル方程式の解説いつもよくわからなかったけど...^^;
これはついていけました m(_ _)mv
フィボナッチのような式になってるんですね...
だから...次から次へと新たな解が泉の如く生まれるんだ...♪

ヤドカリ  
No title

kurarine_toさん、ペルの方程式を解ける中学生がいたら、その人は異常です。
それより、ブログに割ける時間ができて良かったと思います。
ただ、1次方程式は大切ですのでしっかり理解してくださいね。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、精一杯、分かりやすい方法で説明しました。
これ以上の説明は私には無理と思います。
付け加えるとしたら、漸化式を解いて一般項を示すこと位です。