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[答360] 四角形の辺の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ



[答360] 四角形の辺の長さ


 四角形ABCDがあって、対角線の交点をPとします。

 AB=432,BC=375,PA=288,PC=250,PD=240 のとき、AD=?



[解答1] なるべく数値の小さい三角形で余弦定理をフルに使って

 cos∠PCB=cos∠ACB=(BC2+AC2-AB2)/(2・BC・AC)

  =(3752+5382-4322)/(2・375・538)=243445/(2・375・538)=181/(2・75・2)=181/300

 PB2=BC2+PC2-2・BC・PC・cos∠PCB

  =3752+2502-2・375・250・181/300=252(152+102-2・15・10・181/300)=252・122

 PB=25・12=300 になります。

 cos∠APD=cos∠BPC=(PB2+PC2-BC2)/(2・PB・PC)

  =(3002+2502-3752)/(2・300・250)=(122+102-152)/(2・12・10)=19/240

 AD2=PA2+PD2-2・PA・PD・cos∠APD

  =2882+2402-2・288・240・19/240=242(122+102-19)=242・152

 AD=24・15=360 になります。

 別の三角形で余弦定理を使うと、

 cos∠ABD=cos∠ABP=(AB2+BP2-AP2)/(2・AB・BP)

  =(4322+3002-2882)/(2・432・300)=(362+252-242)/(2・36・25)=269/360

 AD2=AB2+BD2-2・AB・BD・cos∠ABD

  =4322+5402-2・432・540・269/360=362(122+152-269)=362・102

 AD=36・10=360 になります。

☆ 計算力があれば絶対に解ける方法です。


[解答2] スチュワートの定理をフルに使って (ふじもさんの解答より)

 AP:PC=288:250=144:125 だから、△ABCでスチュワートの定理より、

 BP2={125(BA2-AP2)+144(BC2-CP2)}/(144+125)

  ={125(BA+AP)(BA-AP)+144(BC+CP)(BC-CP)}/(144+125)

  =(125・720・144+144・625・125)/(144+125)=144・125・5(144+125)/(144+125) 、

 BP=√(144・125・5)=12・25=300 です。

 更に、BD:DP=540:240=9:4 だから、△ABDでスチュワートの定理より、

 AD2-DP2={9AP2-4(AB2-BP2)}/(9-4) 、

 AD2={9AP2-4(AB2-BP2)}/(9-4)+DP2

  ={9AP2-4(AB+BP)(AB-BP)}/(9-4)+DP2=(9・2882-4・732・132)/5+2402

  =242{(9・122-61・11)/5+102}=242・152

 AD=24・15=360 となります。


[解答3] 初等幾何で

 AP:PC=288:250=144:125,AB:BC=432:375=144:125 だから、

 BPは∠ABCの二等分線になり、その長さは、

 BP=√(AB・BC-AP・PC)=√(432・375-288・250)=√{144・125(3・3-2・2)}=12・25=300 になります。

 この結果、 PA・PC=288・250=72000 、PB・PD=300・240=72000 だから、

 方べきの定理の逆により、四角形ABCDは円に内接します。

 従って、△PAD∽△PBC となり、 AD:BC=PD:PC 、AD:375=240:250 、AD=360 になります。

 また、∠ABD=∠CBD だから、AD=CD になり、トレミーの定理より、AB・CD+BC・DA=AC・BD だから、

 432AD+375AD=(288+250)(300+240) 、807AD=538・540 、AD=360 としても解けます。

☆ なるべく計算が楽になるように工夫する問題でした。

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Comments 18

There are no comments yet.
さっちゃんこ  
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おはようございます
今日の花 何でしょうネ
イソギクでも無いし 思い当たりません
完全お手上げです。 ポチ

ひとりしずか  
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イソギクと思うんですけど・・・
希望に輝いて見えます~ポチ☆

アキチャン  
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おはようございます。
なんでしょうね(o^-^o)かわったお花ですね!!ポチ♪

古い人  
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今日の花はなんでしょう。

イソギクに似ては居ますが葉が少し違うような感じですね。
一見多肉植物かなと思いましたが違いますね。
勉強不足です。ポチ。

こっこちゃん  
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こんにちは

今日の花初めてみますが

黄色でかわいい花 癒されますよね” ポチ

uch*n*an  
No title

個人的には,
[解答1]と[解答2]は,計算は面倒になりますがより一般的な場合にも使える点で優れ,
[解答3]は,この問題のポイントを捉え図形的性質を使い計算が少ない点で優れている,
と思います。もっとも,スチュワートの定理は,若干マニアックですが。
なお,[解答3]は,∠APD = ∠BPC,PA:PD = 288:240 = 6:5 = 300:250 = PB:PC から,
直接に △PAD ∽ △PBC をいってもいいですね。
私の解法は四つ。
(解法1)は,[解答1]と同じで余弦定理による解法。
(解法2)は,B から AC に垂線を下ろし三平方の定理を使って PB を求め,
△PAD ∽ △PBC を使う解法。(解法3),(解法4)の元になる解法です。
(解法3)は,スチュワートの定理を使って PB を求め,△PAD ∽ △PBC を使う解法。
(解法4)は,角の二等分線の長さの公式を使って PB を求め,△PAD ∽ △PBC を使う解法。
ただし,角の二等分線の長さの公式は使ったことが無く忘れており,
やどかりさんのヒントで思い付きました。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

今日のお花は、珍しいお花ですね。
菊かしら?野の花?
葉っぱもまた印象的です。
ポチッ☆

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
シオギクです。イソギクより、頭花がやや大きく、葉の幅が広いです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
イソギクに似ていますが、シオギクです。
黄色の花に希望を見いだすのは流石です。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
シオギクです。寒い中、黄色の花がよく目立ちました。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
イソギクに似ていますが、シオギクです。
ネームプレートがあったので分かりました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
シオギクです。
この寒い時期は黄色の花には暖かさと癒しを感じますね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
[解答3]で、直接 △PAD ∽ △PBC をいわなかったのは、
お分かりだと思いますが、トレミーも言いたかったからです。
どの解答が優れているかというのは、仰る通りですが、
いろいろと考えて頂きたくて出した問題です。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
四国や紀伊半島の太平洋側に分布するシオギクです。
見られたことがなくて当然ですね。
花の文化園で咲いていました。

ニリンソウ  
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シオギクなんてあるんですね、これから咲くのね~
蕾が笑ってる。
陽射しだけでも欲しいです。
ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
私も初めて花の文化園で見ました。
ネームプレートがあって助かりました。
黄色が目立ちました。

いっちゃん  
No title

シオギクというのですか?これは蕾ですか?
かわいいですね。。開花したらどんな花びらでしょうか。
ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
これで咲いています。
ハハコグサのような不思議な形の花ですね。