[答361] 条件を満たす分数の和
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[答361] 条件を満たす分数の和
分母・分子が自然数である分数で、分母がある自然数 n 以下のもののうち、
1より小さいものの総和が 17955/2 であれば、2より小さいものの総和は?
整数になるものや可約分数もすべて含めて考えて下さい。
[解答]
0より大きく 1より小さい a/b と (b-a)/b を対応させれば、和が 1なので、
1より小さい分数の平均は 1/2 になります。
また、分母が 1,2,3,……,n で1より小さい分数の個数は 0,1,2,……,n-1 だから、
1より小さい分数の個数は全部で、(n-1)n/2 個あります。
よって、(1/2)(n-1)n/2=17955/2 、4n(n-1)=143640 、(2n-1)2=143641 、
2n-1=379 、n=190 です。
次に、
0より大きく 2より小さい a/b と (2b-a)/b を対応させれば、和が 2なので、
2より小さい分数の平均は 1 になります。
また、分母が 1,2,3,……,n で2より小さい分数の個数は 1,3,5,……,2n-1 だから、
2より小さい分数の個数は全部で、n2 個あります。
従って、その和も、n2 です。
n=190 のとき n2=36100 です。
1より小さい分数の総和を S とすれば、
2より小さい分数は、1より小さい分数と、1より小さい分数それぞれに1を加えたものと、
1/1,2/2,3/3,……,n/n だから、その和は、S+(S+2S)+n=4S+n になります。
S=17955/2 ,n=190 のとき、4S+n=4・17955/2+190=36100 としても求められます。
[参考]
プログラムで解かれた方も何人かおられましたので、十進BASIC のプログラムを示しておきます。
LET s=0
LET n=1
DO WHILE s<17955/2
LET n=n+1
FOR i=1 TO n-1
LET s=s+i/n
NEXT I
LOOP
DO WHILE n>0
FOR i=n TO 2*n-1
LET s=s+i/n
NEXT I
LET n=n-1
LOOP
PRINT s
END
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