[答361] 条件を満たす分数の和

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[答361] 条件を満たす分数の和


　分母・分子が自然数である分数で、分母がある自然数 n 以下のもののうち、

　１より小さいものの総和が 17955/2 であれば、２より小さいものの総和は？

　整数になるものや可約分数もすべて含めて考えて下さい。


[解答]

　0より大きく 1より小さい a/b と (b－a)/b を対応させれば、和が 1なので、

　１より小さい分数の平均は 1/2 になります。

　また、分母が 1，2，3，……，n で１より小さい分数の個数は 0，1，2，……，n－1 だから、

　１より小さい分数の個数は全部で、(n－1)n/2 個あります。

　よって、(1/2)(n－1)n/2＝17955/2 、4n(n－1)＝143640 、(2n－1)²＝143641 、

　2n－1＝379 、n＝190 です。

　次に、

　0より大きく 2より小さい a/b と (2b－a)/b を対応させれば、和が 2なので、

　２より小さい分数の平均は 1 になります。

　また、分母が 1，2，3，……，n で２より小さい分数の個数は 1，3，5，……，2n－1 だから、

　２より小さい分数の個数は全部で、n² 個あります。

　従って、その和も、n² です。

　n＝190 のとき n²＝36100 です。


　１より小さい分数の総和を S とすれば、

　２より小さい分数は、１より小さい分数と、１より小さい分数それぞれに１を加えたものと、

　1/1，2/2，3/3，……，n/n だから、その和は、S＋(S＋2S)＋n＝4S＋n になります。

　S＝17955/2 ，n＝190 のとき、4S＋n＝4･17955/2＋190＝36100 としても求められます。


[参考]

　プログラムで解かれた方も何人かおられましたので、十進BASIC のプログラムを示しておきます。

　LET s=0
　LET n=1
　DO WHILE s<17955/2
　 LET n=n+1
　 FOR i=1 TO n-1
　 LET s=s+i/n
　 NEXT I
　LOOP
　DO WHILE n>0
　 FOR i=n TO 2*n-1
　 LET s=s+i/n
　 NEXT I
　 LET n=n-1
　LOOP
　PRINT s
　END

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