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[答361] 条件を満たす分数の和

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答361] 条件を満たす分数の和


 分母・分子が自然数である分数で、分母がある自然数 n 以下のもののうち、

 1より小さいものの総和が 17955/2 であれば、2より小さいものの総和は?

 整数になるものや可約分数もすべて含めて考えて下さい。


[解答]

 0より大きく 1より小さい a/b と (b-a)/b を対応させれば、和が 1なので、

 1より小さい分数の平均は 1/2 になります。

 また、分母が 1,2,3,……,n で1より小さい分数の個数は 0,1,2,……,n-1 だから、

 1より小さい分数の個数は全部で、(n-1)n/2 個あります。

 よって、(1/2)(n-1)n/2=17955/2 、4n(n-1)=143640 、(2n-1)2=143641 、

 2n-1=379 、n=190 です。

 次に、

 0より大きく 2より小さい a/b と (2b-a)/b を対応させれば、和が 2なので、

 2より小さい分数の平均は 1 になります。

 また、分母が 1,2,3,……,n で2より小さい分数の個数は 1,3,5,……,2n-1 だから、

 2より小さい分数の個数は全部で、n2 個あります。

 従って、その和も、n2 です。

 n=190 のとき n2=36100 です。


 1より小さい分数の総和を S とすれば、

 2より小さい分数は、1より小さい分数と、1より小さい分数それぞれに1を加えたものと、

 1/1,2/2,3/3,……,n/n だから、その和は、S+(S+2S)+n=4S+n になります。

 S=17955/2 ,n=190 のとき、4S+n=4・17955/2+190=36100 としても求められます。


[参考]

 プログラムで解かれた方も何人かおられましたので、十進BASIC のプログラムを示しておきます。

 LET s=0
 LET n=1
 DO WHILE s<17955/2
  LET n=n+1
  FOR i=1 TO n-1
  LET s=s+i/n
  NEXT I
 LOOP
 DO WHILE n>0
  FOR i=n TO 2*n-1
  LET s=s+i/n
  NEXT I
  LET n=n-1
 LOOP
 PRINT s
 END

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Comments 20

There are no comments yet.
古い人  
No title

此れも昨日の花と同じ種類ですか。

花びらの先が少し違うがシベは良く似ていますね。
この手の菊は種類が多くて我々の素人には判りませんね。
出もこの時期に咲く花は綺麗ですね。
ポチ。

ニリンソウ  
No title

きょうも黄色ネ、うちは赤ですよ。
寒菊さっそく仏壇にも飾りました、暗い空だけど静か
明日の晩あたりから荒れそうです。

ポチ

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
綺麗な菊ですね。
此の菊に良く似た菊で横に這うように広がっている菊
見た事あります
此の寒いのに頑張って咲いてる黄色の菊
元気貰えますね ありがとうございます ポチ

アキチャン  
No title

おはようございます。
今頃、思い出しました。私はなぜだか、菊の写真を撮っていないのですf(^。^;
なぜだろうと、今日、考える機会を与えてくださったお花でした。
ありがとうございます。ポチ♪

こっこちゃん  
No title

こんにちは

コキクは 色んな花で楽しませてくれますね”
今の時期 花が少ないので 黄色で元気頂きました~ ポチ

uch*n*an  
No title

この問題,私は何も考えずに∑計算をしてしまいましたが,
[解答]のように平均を考えれば算数っぽく出来ましたね。
いずれにせよ,2より小さい分数の総和が n^2 になるのには,ちょっと感動しました。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
鮮やかな解法ね♪
奇数=三角数の和はn^2にすぐにゃ気づけないわたし...^^;
1+(1/2+1+1+1/2)+(1/3+2/3+1+1+1+2/3+1/3)+...=n^2
なら...1以下の和は...{n^2-n(n+1)/2)}/2でよさそうなんだけど...
合わない...?

ひとりしずか  
No title

今日のがシマカンギクですか?
昨日のより色が濃いですね~いい色・・・
しべが力強いですね~ポチ☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
花はシマカンギクです。
野生種の菊はネームプレートがないと分かりませんね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
赤のカンギクですか。
赤も黄色もこの時期、暖色系もいいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このシマカンギク、離れた所から目立ちました。
花の少ない時期の黄色の花は暖かく感じます。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私は今年は沢山の菊を撮りました。
貴女の今年のように撮らない年も多いです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
キク真っ盛りの秋のコギクもいいですが、
この時期の黄色の花は元気を与えてくれますね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
> 2より小さい分数の総和が n^2 になるのには,ちょっと感動しました。
私もです。問題番号から、平方数を考えていて見つけました。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
> 1以下の和は...{n^2-n(n+1)/2)}/2でよさそうなんだけど
その通りです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
予告通り、シマカンギクの写真を使いました。
黄色が目立ちましたよ。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
あれ...^^;
8977.5 になったからてっきり別の値とばかり思い込んでしまってましたぁ...Orz...

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
ご納得頂いたようで、よかったです。

いっちゃん  
No title

こんばんは^^
シマカンギクって黄色だけですか?これに似た白い菊を
見たような気がします。。可愛いですね。
わたしが少女だったころ、(ここ笑うとこではないですよ^^)コスモスで花弁占いをしていました。8枚だから結果はわかっているんですがね。この花びらでしてみたいな。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
シマカンギク、私が見たのは黄色だけですが、白花もあるようです。
「ここ笑うとこではないですよ」の注釈に笑ってしまいました。失礼。