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[答362] 立方体の頂点の座標

ヤドカリ

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[答362] 立方体の頂点の座標


 空間内に、O(0,0,0),A(-3,8,5),B(-1,5,11) を頂点とする立方体があります。

 この立方体の頂点のうち、x座標,y座標,z座標が全て正の数であるものは?


[解答]

 OA=7√2 ,OB=7√3 ,AB=7 だから、立方体の1辺が 7 で、OAは面の、OBは立方体の対角線です。

 以下、ベクトルを使いますので、ベクトルは太字で表します。また、図のように点を決めます。

 まず、OEABOBOA=(2,-3,6) です。

 CD=(a,b,c) とすれば、

 CDOA より、-3a+8b+5c=0 ……(1)

 CDAB より、2a-3b+6c=0 ……(2)

 (1)×2+(2)×3 を計算して、7b+28c=0 、b=-4c 、

 (2) に代入して、2a-3(-4c)+6c=0 、a=-9c となって、

 CD=(-9c,-4c,c)=-c(9,4,-1) となります。

 C,D は x座標が大きくない方を C とすれば、c≦0 となり、

 |CD|=|c|・7√2 、|CD|=|OA| だから、c=-1 、

 CD=(9,4,-1) となります。

 OC=(OACD)/2=(-6,2,3) ,OD=(OACD)/2=(3,6,2) ,

 OFOCOE=(-4,-1,9) ,OGODOE=(5,3,8) です。

 x座標,y座標,z座標が全て正の数であるものは、D(3,6,2) ,G(5,3,8) です。


☆ 外積を利用して、|CD|=|OA| ,|OA×OE|=|OA||OE|sin90゚=7|OA| より、

 CDOA×OE/7=(63,28,-7)/7=(9,4,-1) とすれば計算が簡潔です。

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Comments 20

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ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
何故この時期に1輪だけ咲いていたのか知りませんが、
白いクレマチスに惹かれました。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
クレマチス真っ白で見事に咲いていますね
今年は色んな処に異常と思われるような花が咲いています
私も昨日は姫緋扇ズイセンの花を見つけビックリでした
季節外れではありますが綺麗な花を見ると心が躍ります ポチ

ニリンソウ  
No title

テッセンのほうが親しみがあるなぁ~
夏の花でしょ! 昨今は野菜も花も季節感がなくなってきましたね。 ポチ

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
結構な計算をして...アバウトな答えしか出せなかったのですが...^^;
これって...空間の点の回転だから...四元数で扱えるんですよね?
but...その使い方がよくわからないわたし...Orz...

アキチャン  
No title

こんにちわ!
寒空で、お花を見つけると、うれしいですよね(o^-^o)
白、きれいです♪ ポチ♪

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
季節外れではありますが、気高く咲いていました。
仰る通り、心が躍りますね。

こっこちゃん  
No title

こんにちは
この時期に

真っ白なクレマチス 元気に咲いて嬉しいですね” ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
わたしもテッセンの方が馴染みあります。
多くの花は季節に合わせて咲いていますので、これはこれでいいでしょう。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントを有難う御座います。
四元数は一応知っていますが、馴染みがないので使いこなせません。
ポピュラーなベクトルとその外積で十分でしょう。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
寒空の中、凛とした姿を見せてくれました。
うれしいです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この時期に関わらず元気に咲いている姿に元気を貰えます。
自然が創ってくれたものに私たちは生かされているのですね。

uch*n*an  
No title

[解答]は,立方体の性質,ベクトルをうまく使っていますね。
私の解法は二つ。ただし,二つ目は解答としては書き上げませんでした。
一つ目は,やはり立方体の性質,ベクトルを使いますが,二次方程式を解いた分,若干面倒かな。
二つ目は,[解答]と似た解法,実質同じ,ですが,直線 CD の方程式を使いました。

uch*n*an  
No title

crazy_tomboさんへ
さすがに四元数までは考えませんでしたが,
一辺 7 の立方体を回転して重ねる,というアイディアは,私も頭をよぎりました。
ただ,回転角を決めるのが面倒そうだったので,それ以上は考えませんでした。
なお,難しくなりますが,四元数は粒子のスピンを表現するパウリ行列と代数構造が似ており,
したがって,回転と関係の深い角運動量(角運動量は回転のgenerator)とも関係しており,
直感的には,そうしたことからも,四元数と空間回転との関係を連想できます。

スモークマン  
No title

uch*n*anさんへ ^^
コメありがとうございました♪
角度は...残りの頂点とだから...例えば...45°か60°か90°でいいかなと思ったりしたのですが...wiki読んでも取り扱い方がわからなくて挫折...^^;...Orz~v
やどかりさんでさえ...使いこなせないってなツールなんでしたぁ...^^;;;

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと、crazy_tomboさんへのコメントを有難う御座います。
このような問題はベクトルが便利ですね。
四元数については、使ったことがないので、私はスルーです。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、再度のコメントを有難う御座いました。

いっちゃん  
No title

うわぁ~^^真っ白な季節にまっしろな花がすごく
すてきです^^
明日はクリスマスイブ、ホワイトクリスマスに似合う花ですね。。カザグルマと似ているから見分けがつきません。。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
テッセン、カザグルマ、クレマチス、ってややこしいですね。
この白い花、雪の中では多分目立たないでは?

いっちゃん  
No title

おはようございます^^
この花そのものが
大きな「ぼたんゆき」みたいではありませんか♡

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、再度のコメントを有難う御座います。
そうですね。花そのものが雪のようです。