[答362] 立方体の頂点の座標
[答362] 立方体の頂点の座標
空間内に、O(0,0,0),A(-3,8,5),B(-1,5,11) を頂点とする立方体があります。
この立方体の頂点のうち、x座標,y座標,z座標が全て正の数であるものは?
[解答]
OA=7√2 ,OB=7√3 ,AB=7 だから、立方体の1辺が 7 で、OAは面の、OBは立方体の対角線です。
以下、ベクトルを使いますので、ベクトルは太字で表します。また、図のように点を決めます。
まず、OE=AB=OB-OA=(2,-3,6) です。
CD=(a,b,c) とすれば、
CD⊥OA より、-3a+8b+5c=0 ……(1)
CD⊥AB より、2a-3b+6c=0 ……(2)
(1)×2+(2)×3 を計算して、7b+28c=0 、b=-4c 、
(2) に代入して、2a-3(-4c)+6c=0 、a=-9c となって、
CD=(-9c,-4c,c)=-c(9,4,-1) となります。
C,D は x座標が大きくない方を C とすれば、c≦0 となり、
|CD|=|c|・7√2 、|CD|=|OA| だから、c=-1 、
CD=(9,4,-1) となります。
OC=(OA-CD)/2=(-6,2,3) ,OD=(OA+CD)/2=(3,6,2) ,
OF=OC+OE=(-4,-1,9) ,OG=OD+OE=(5,3,8) です。
x座標,y座標,z座標が全て正の数であるものは、D(3,6,2) ,G(5,3,8) です。
☆ 外積を利用して、|CD|=|OA| ,|OA×OE|=|OA||OE|sin90゚=7|OA| より、
CD=OA×OE/7=(63,28,-7)/7=(9,4,-1) とすれば計算が簡潔です。
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