[答362] 立方体の頂点の座標

[答362] 立方体の頂点の座標


　空間内に、O(0，0，0)，A(－3，8，5)，B(－1，5，11) を頂点とする立方体があります。

　この立方体の頂点のうち、ｘ座標，ｙ座標，ｚ座標が全て正の数であるものは？


[解答]

　OA＝7√2 ，OB＝7√3 ，AB＝7 だから、立方体の１辺が 7 で、OAは面の、OBは立方体の対角線です。

　以下、ベクトルを使いますので、ベクトルは太字で表します。また、図のように点を決めます。

　まず、OE＝AB＝OB－OA＝(2，－3，6) です。

　CD＝(a，b，c) とすれば、

　CD⊥OA より、－3a＋8b＋5c＝0 ……(1)

　CD⊥AB より、2a－3b＋6c＝0 ……(2)

　(1)×2＋(2)×3 を計算して、7b＋28c＝0 、b＝－4c 、

　(2) に代入して、2a－3(－4c)＋6c＝0 、a＝－9c となって、

　CD＝(－9c，－4c，c)＝－c(9，4，－1) となります。

　C，D は ｘ座標が大きくない方を C とすれば、c≦0 となり、

　|CD|＝|c|･7√2 、|CD|＝|OA| だから、c＝－1 、

　CD＝(9，4，－1) となります。

　OC＝(OA－CD)/2＝(－6，2，3) ，OD＝(OA＋CD)/2＝(3，6，2) ，

　OF＝OC＋OE＝(－4，－1，9) ，OG＝OD＋OE＝(5，3，8) です。

　ｘ座標，ｙ座標，ｚ座標が全て正の数であるものは、D(3，6，2) ，G(5，3，8) です。


☆ 外積を利用して、|CD|＝|OA| ，|OA×OE|＝|OA||OE|sin90ﾟ＝7|OA| より、

　CD＝OA×OE/7＝(63，28，－7)/7＝(9，4，－1) とすれば計算が簡潔です。

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