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[答363] 7種類のコレクション

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答363] 7種類のコレクション


 袋に入ったカードが、1枚 20 円で売られていて、買うときは中身が分かりません。

 カードは全部で7種類あり、どの種類のカードも確率 1/7 で当たります。

 この条件で、全種類のカードを集めるのに必要な金額の期待値は?


[解答1] 期待値の定義に忠実に (uch*n*anさんの解答より)

 n 回目(n≧7)で 7 種類のカードが揃ったとします。すると,n-1 回目までは 6 種類のカードだけです。

 これは全体で 6n-1 通りありますが,5 種類だけの場合は n 回目で 7 種類が揃わないので,これを除きます。

 そこで,6n-165・5n-1 通り

 ところがこれでは 4 種類の場合を引き過ぎているのでこれを足します。

 6n-165・5n-164・4n-1 通り

 以下同様にして,引く足すを繰り返して,n-1 回目までに 6 種類の場合は,

 6n-165・5n-164・4n-163・3n-162・2n-161・1n-1

  =6n-1-6・5n-1 +15・4n-1-20・3n-1+15・2n-1-6 通り

 そこで,6 種類を選ぶ 76=7 通りを掛け n 回目の全体 7n 通りで割って,

 n 回目に揃う確率 p(n) は,

 p(n)=7(6n-1-6・5n-1+15・4n-1-20・3n-1+15・2n-1-6)/7n

  =(6/7)n-1-6・(5/7)n-1+15・(4/7)n-1-20・(3/7)n-1+15・(2/7)n-1-6・(1/7)n-1

 これより,回数の期待値 E は,
                 6
 E=Σn・p(n)=Σn・p(n)-Σn・p(n)
    n=7     n=1     n=1
      
 ここで,Σn・pn-1=1/(1-p)2,p(1)=-1,p(2)=p(3)=p(4)=p(5)=p(6)=0,より,
       n=1
 E=1/(1-6/7)2-6/(1-5/7)2+15/(1-4/7)2-20/(1-3/7)2+15/(1-2/7)2-6/(1-1/7)2+1

  =49-6・49/4+15・49/9-20・49/16+15・49/25-6・49/36+1

  =49(1-3/2+5/3-5/4+3/5-1/6)+1=363/20 回

 そこで,金額の期待値は 20・363/20=363 円,になります。


[解答2]

 1種類目のカードは 20 円で得られます。

 次に1枚のカードを買うとき、1枚目と違う種類のカードである確率は 6/7 だから、

 2種類目のカードを得られるまでの必要金額の期待値は 20/(6/7)=140/6 円です。

 2種類のカードを持っている状態で、1枚のカードを買って違う種類のカードである確率は 5/7 だから、

 3種類目のカードを得られるまでの必要金額の期待値は 20/(5/7)=140/5 円です。

 以下、同様にして、7種類のカード全部を集めるのに必要な期待金額は次のようになります。

 20+140/6+140/5+140/4+140/3+140/2+140/1=20+70/3+28+35+140/3+70+140=363 円。


☆ 「クーポン・コレクター問題」というそうです。(ftt*m*28さんのコメントより)

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Comments 20

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uch*n*an  
No title

この問題は有名問題だったようですね。私は知りませんでした。
私の解法は二つ。
(解法1)が[解答1]でした。ただ,最後の辺りの計算はもう少し複雑でした。
それは,p(n) は n >= 7 でしか意味がないので,それに忠実に計算いた結果ですが,
単に,式の計算と捉えて,書かれているように計算しても問題ないようですね。
しかも意味的にも,さすがに p(1) は変ですが,p(2) ~ p(6) はうまくいっているようです。
(解法2)は,恐らく,[解答2]と等価だと思いますが,7 種類集まった方から求める感じでした。
なお,いきなり,
>2種類目のカードを得られるまでの必要金額の期待値は 20/(6/7)=140/6 円です。
は,少し難しいかも。私は,期待値を E2 として,
E2 = 20 * 6/7 + (20 + E2) * 1/7,E2 * 6/7 = 20,E2 = 20/(6/7)
と解釈しましたが。

uch*n*an  
No title

なお,明日は朝から立て込んでいるので,問題は見られると思うものの,
解けるか,解答としてまとめられるか,微妙です (^^;
年末年始もいつものペースですか? さすがにちとキツイかも...

いっちゃん  
No title

こんにちは。。
今年の音訳の最後の日でした^^
この花は内気な花ですね。。恥かしそうにくるんと
巻いています。。可愛いです♪ポチ

黒翼  
No title

>uch*n*anさん

>E2 = 20 * 6/7 + (20 + E2) * 1/7,E2 * 6/7 = 20,E2 = 20/(6/7)と解釈しましたが

これは分かりやすいですね.僕が前に同じ結論にたどり着いた時は,極限をとったために計算が若干面倒になった記憶があります.

考え方を少し変えるだけでこんなにも大きな違いがあるのですね.

こっこちゃん  
No title

こんばんは

此花何度も見たことあって 記事にすると
後は 忘れてしまい ~~

近頃忘れが 多く困ったものです~~ ポチ

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この花はまだ暑い頃から何回も見ました。
形が整っている割に独特で見飽きないです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
下にさっちゃんこさんが書いてくれているように、
ディモルフォセカ-オステオスペルマムのようです。
私には覚えきれません。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私は古墳の土手の所で何回も見たのですが、名前は知りませんでした。
貴女のコメントを頼りに調べたら、ディモルフォセカ-オステオスペルマムのようです。
よくこんな名前が出てくるものだと驚きです。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、2度のコメントを有難う御座います。
問題には取り組んで頂いていたのですね。
私は計算が楽な[解答2]しか考えませんでした。
なんとか、無限和を回避しようという気持ちが強かったのかも知れません。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
私もかわいい花だと思います。
花弁の開ききっていないのが面白いです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
今回も貴殿の解答を使わせて頂きました。
問題は1週間前には用意していますので、年末年始もいつも通りに続ける予定です。
今週の出題分の解答説明は、どうせ年明けですから、ごゆっくり。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
「恥かしそうに」というのは少女時代の貴女に重ね合わせてのことでしょうか?
いつまでもそのような気持ちを持ち続けることはいいですね。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
私も覚えてもよく忘れます。
ただ、この花は全く知りませんでした。
頂いたコメントに助けられながら続けています。

ニリンソウ  
No title

難しい名前の花ですね、ガザニアと思ったら!
大人の雰囲気その色が。

ポチ

ニリンソウ  
No title

わー覚えられそうにない難しい名前ですね。
その色が大人の雰囲気ネ。

ポチ

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
まだ眠いあたしですが...
これは解法2がダントツでわかりやすいですね♪
これ知ったとき...目が点になりましたぁ~@@
発想の妙ですね ^^...v
今日も寒い...もっと寒くなるんだろうけど...早く坂の上が来て欲しい!!
さすれば...あとはだらだらとした暖かい道が待ってる♡

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
次の記事で、さっちゃんこさんから教えて頂きました。
和名「アフリカキンセンカ」とも呼ばれているそうです。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
期待値の問題は、考え方で楽に解けることがあるのが楽しみですね。

uch*n*an  
No title

「クーポン・コレクター問題」で検索してみたら,確かにかなりの有名問題のようで,
たくさん見つかりました。そしてその解法は,パラパラ見た感じでは,[解答2]が主流でした。
[解答1]の方向もあるのですが,途中までやプログラムに頼ったり。
その意味では,愚直にやっても一致することを示した[解答1]は貴重かも (^^;
いずれにせよ,勉強になりました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
ftt*m*28さんのコメントで私も名前を知って調べたのですが、
私が解いたのと同じような[解答2]が多かったと思います。
それ以外が多分、[解答1]なのでしょう。
自分で計算してみないと意味がないので、放っていましたが、
貴殿の解答を見て、計算をし直し、上記の解答を加えました。