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[答364] 辺の内分点でできる正三角形

ヤドカリ

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[答364] 辺の内分点でできる正三角形


 図のように、1辺が4の正三角形A0B0C0 があり、aを定数、n=0,1,2,3,…… とします。

 辺AnBn,BnCn,CnAn を 1:a に内分する点を An+1,Bn+1,Cn+1 として、

 正三角形AnBnCn から、正三角形An+1Bn+1Cn+1 を作ります。

 A8B8//B0C0 となるとき、正三角形AnBnCn の面積を Sn として、S8=?

 何種類か考えられますが、面積が最大のものを求めて下さい。


[解答1] uch*n*anさんの解答より

 △A0B0C0 の中心を O とします。

 作り方から,すべての正三角形は同じ相似比で相似で,中心は O です。

 そこで,相似比=OA0:OA1,面積比=OA02:OA12,Sn=(4√3)(OA1/OA0)2n,です。

 OA0=4/√3,最大の S8 を求めるので,条件を満たす最大の OA1 を考えれば十分です。

 対称性より 0゚<∠A1OA0≦60゚ とでき,この範囲で A1' を A1B0 上に取ると,

 0゚<∠A1OA0<∠A1'OA0≦60゚ ,∠OA1A1'<90゚<∠OA1'A1,OA1'<OA1

 という同値な関係がいえ,OA1 の最大は ∠A1OA0 の最小,です。

 一方,A8B8//B0C0 は,k を 0 以上の整数として 8∠A1OA0=120゚+180゚・k より,

 k=0 の ∠A1OA0=15゚ が求める場合です。

 そこで,∠OA0A1=30゚,∠OA1A0=135゚ ,正弦定理より,

 S8=(4√3)(OA1/OA0)16=(4√3)(sin(30゚/sin135゚)16=(4√3)(1/√2)16=√3/64 になります。


[解答2]

 △An+1BnBn+1 において、∠An+1BnBn+1=60゚ だから、

 ∠BnAn+1Bn+1=α とすれば、∠An+1Bn+1Bn=120゚-α で、正弦定理より、

 An+1Bn+1/AnBn=An+1Bn+1/(An+1Bn+BnBn+1)

  =sin60゚/{sinα+sin(120゚-α)}=sin60゚/{2sin60゚cos(α-60゚)}=1/{2cos(α-60゚)} 、

 Sn+1/Sn=1/{4cos2(α-60゚)}=1/{2+2cos(2α-120゚)}=1/{2+2sin(2α-30゚)} 、

 Sn=S0/{2+2sin(2α-30゚)}n になります。

 本問においては、8α=120゚+180゚・k (k は負でない整数) と表され、α<120゚ だから、

 α=15゚+22.5゚・k=15゚,37.5゚,60゚,82.5゚,105゚ で、 sin(2α-30゚) が最小になるのは、

 α=15゚,105゚ のときで、 S8=(4√3)/28=(√3)/64 です。


[参考]

 α=37.5゚,82.5゚ のとき、 S8=(4√3)/(2+√2)8=(4√3)(√2-1)8/(√2)8=(√3)(577-408√2)/4 、

 α=60゚ のとき、 S8=(4√3)/48=(√3)/16384 です。

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Comments 20

There are no comments yet.
黒翼  
No title

なるほど~
納得できる解答ですね.

しかし,この問題は見た瞬間にあきらめてしまいましたが,ちょっとしたことに気がつけば…ということなんでしょうね.

なんとか自分で正解を導けるようになりたいです.

ポチ☆

古い人  
No title

時計草ですね此れも種類が多く有りますね。

外で咲く花温室で咲く花色々ですね。
そして色も様々ですね。 ポチ。

ひとりしずか  
No title

不思議な花芯ですね~
あまり見れない花です・・・ポチ☆

uch*n*an  
No title

[解答2]を見て,なるほどそうだよね,という感じです。
前回同様少し手こずりました。どうも最近は冴えないです。
私の解法は三つですが,(解法1),(解法2),(解法3)と同じアイディアを順次改良した感じで,
(解法3)が[解答1]でした。結局,a はあまり関係なかったですね,これに囚われてしまって。

うちの会社は今日が仕事納め。でも,明日からはプライベートでバタバタしそうです。
私が子供の頃は休みになったら時間がたっぷりでしたが,今の子は塾とか忙しそうですね。
大学生も就活とかバイトとかあるし。皆さんはどうなのかな?

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この寒いのによく咲いているなぁと思って撮ったものです。
後方のフェンスに支えられて頑張っていましたょ。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
季節外れですが、よく咲いていてくれました。
この時期、我々も植物も日差しが有難いですね。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
私はこのような図形は、逆にカモだと思っています。
同じことの繰り返しほ、どうせ等比数列、しかも小さくなっているので、0<公比<1 の。
また、解きに来てくださいね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、これも種類が多く、いろいろ見たことがありますが、
この時期に見たのは今年が初めてです。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
そちらの地方ではあまり咲かない花ですかね。
私も初めて時計草を見たとき、花芯に驚きでした。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、お忙しい中、コメントを有難う御座います。
角度を決めても aで計算しても、正弦定理を使えば同じことなので、
私は出題時に、一定の比を表すのに aを使いました。

私は昨日が仕事納めでした。今日からはボチボチと家の片付けです。
若い頃と違って、一気にと言うわけにはいきません。

私の子供の頃も休みになったら時間がたっぷりでした。
多分、同じような時代だから、同じように時間があって当然ですが。
ゆとり教育も塾を流行らせる要因になっている気がします。
大学生の就活についてはニュースを見ていても大変だと思います。
年金問題もあり、高齢になっても就活しないといけなりそうで、
他人事でなくなる日がくると考えれば怖いことです。

ニリンソウ  
No title

うわー時計草だね。
やどかりさん毎日お花探すの上手いです。
どうも花やさんでは無いようだし?

ポチ

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
>正弦定理より、
A(n+1)B(n+1)/A(n)B(n)=A(n+1)B(n+1)/(A(n+1)B(n)+B(n)B(n+1)...

やっと気づけましたぁ ^^;v
そっかぁ~鮮やかね♡

わたしは明日までですが...年末年始に2回日当直当たりました...^^;
風邪だけは引かないようにと思ってます!!
日本経済の規模によっては...どこぞの国みたいに...医学部出ても...
医者になれないってな...でも...人口が減れば...自ずと医者の数が足らないなんて自然解消されちゃうような時代になっちゃうのかしらん...?

黒翼  
No title

もう仕事納めの時期なんですね~
もうすぐ今年も終わりますね.

僕はもちろん冬休み期間中なのですが,勉強することが多くて,なかなかこちらの問題に集中できません.

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
花屋さんですか、いいですね。
経営手腕があれば、そういう所での仕事がいいです。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
病院関係者は年末年始も当直があって大変ですね。
ところで、人口が減ればそれに伴って医師も減るのでは?

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、再度のコメントを有難う御座います。
勉強が多くて忙しいのですね。
なかなか時間は自由にならないことが多いです。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
大学の募集定員数をスライド的に減らすならばそうでしょね ^^;v
流れ的にはそうなるのかなぁ...
いまの医師会は医者を増やすことに反対してるようですから...?
正月の当直は...患者さんに声かけてお昼休みの時間に碁を打ちに来られませんかぁ~って...Orz...

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、再度のコメントを有難う御座います。
正月の当直はゆっくりとした時間がありそうなコメント、
緊急事態にならなければいいですね。

いっちゃん  
No title

寒さの中で一輪の時計草はお日様をいっぱい浴びて
気持ちよさそう♪
なんか応援したくなります^^ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
本当に寒い中、よく咲いているなぁと思いました。
どうぞ、応援して下さい。