[答364] 辺の内分点でできる正三角形

[答364] 辺の内分点でできる正三角形


　図のように、１辺が４の正三角形A₀B₀C₀ があり、aを定数、n＝0，1，2，3，…… とします。

　辺A_nB_n，B_nC_n，C_nA_n を 1：a に内分する点を A_n+1，B_n+1，C_n+1 として、

　正三角形A_nB_nC_n から、正三角形A_n+1B_n+1C_n+1 を作ります。

　A₈B₈//B₀C₀ となるとき、正三角形A_nB_nC_n の面積を S_n として、S₈＝？

　何種類か考えられますが、面積が最大のものを求めて下さい。


[解答1] uch*n*anさんの解答より

　△A₀B₀C₀ の中心を O とします。

　作り方から，すべての正三角形は同じ相似比で相似で，中心は O です。

　そこで，相似比＝OA₀：OA₁，面積比＝OA₀²：OA₁²，S_n＝(4√3)(OA₁/OA₀)²ⁿ，です。

　OA₀＝4/√3，最大の S₈ を求めるので，条件を満たす最大の OA₁ を考えれば十分です。

　対称性より 0ﾟ＜∠A₁OA₀≦60ﾟ とでき，この範囲で A₁' を A₁B₀ 上に取ると，

　0ﾟ＜∠A₁OA₀＜∠A₁'OA₀≦60ﾟ ，∠OA₁A₁'＜90ﾟ＜∠OA₁'A₁，OA₁'＜OA₁

　という同値な関係がいえ，OA₁ の最大は ∠A₁OA₀ の最小，です。

　一方，A₈B₈//B₀C₀ は，k を 0 以上の整数として 8∠A₁OA₀＝120ﾟ＋180ﾟ･k より，

　k＝0 の ∠A₁OA₀＝15ﾟ が求める場合です。

　そこで，∠OA₀A₁＝30ﾟ，∠OA₁A₀＝135ﾟ ，正弦定理より，

　S₈＝(4√3)(OA₁/OA₀)¹⁶＝(4√3)(sin(30ﾟ/sin135ﾟ)¹⁶＝(4√3)(1/√2)¹⁶＝√3/64 になります。


[解答2]

　△A_n+1B_nB_n+1 において、∠A_n+1B_nB_n+1＝60ﾟ だから、

　∠B_nA_n+1B_n+1＝α とすれば、∠A_n+1B_n+1B_n＝120ﾟ－α で、正弦定理より、

　A_n+1B_n+1/A_nB_n＝A_n+1B_n+1/(A_n+1B_n＋B_nB_n+1)

　 ＝sin60ﾟ/{sinα＋sin(120ﾟ－α)}＝sin60ﾟ/{2sin60ﾟcos(α－60ﾟ)}＝1/{2cos(α－60ﾟ)} 、

　S_n+1/S_n＝1/{4cos²(α－60ﾟ)}＝1/{2＋2cos(2α－120ﾟ)}＝1/{2＋2sin(2α－30ﾟ)} 、

　S_n＝S₀/{2＋2sin(2α－30ﾟ)}ⁿ になります。

　本問においては、8α＝120ﾟ＋180ﾟ･k (k は負でない整数) と表され、α＜120ﾟ だから、

　α＝15ﾟ＋22．5ﾟ･k＝15ﾟ，37．5ﾟ，60ﾟ，82．5ﾟ，105ﾟ で、 sin(2α－30ﾟ) が最小になるのは、

　α＝15ﾟ，105ﾟ のときで、 S₈＝(4√3)/2⁸＝(√3)/64 です。


[参考]

　α＝37．5ﾟ，82．5ﾟ のとき、 S₈＝(4√3)/(2＋√2)⁸＝(4√3)(√2－1)⁸/(√2)⁸＝(√3)(577－408√2)/4 、

　α＝60ﾟ のとき、 S₈＝(4√3)/4⁸＝(√3)/16384 です。

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