[答364] 辺の内分点でできる正三角形
[答364] 辺の内分点でできる正三角形
図のように、1辺が4の正三角形A0B0C0 があり、aを定数、n=0,1,2,3,…… とします。
辺AnBn,BnCn,CnAn を 1:a に内分する点を An+1,Bn+1,Cn+1 として、
正三角形AnBnCn から、正三角形An+1Bn+1Cn+1 を作ります。
A8B8//B0C0 となるとき、正三角形AnBnCn の面積を Sn として、S8=?
何種類か考えられますが、面積が最大のものを求めて下さい。
[解答1] uch*n*anさんの解答より
△A0B0C0 の中心を O とします。
作り方から,すべての正三角形は同じ相似比で相似で,中心は O です。
そこで,相似比=OA0:OA1,面積比=OA02:OA12,Sn=(4√3)(OA1/OA0)2n,です。
OA0=4/√3,最大の S8 を求めるので,条件を満たす最大の OA1 を考えれば十分です。
対称性より 0゚<∠A1OA0≦60゚ とでき,この範囲で A1' を A1B0 上に取ると,
0゚<∠A1OA0<∠A1'OA0≦60゚ ,∠OA1A1'<90゚<∠OA1'A1,OA1'<OA1
という同値な関係がいえ,OA1 の最大は ∠A1OA0 の最小,です。
一方,A8B8//B0C0 は,k を 0 以上の整数として 8∠A1OA0=120゚+180゚・k より,
k=0 の ∠A1OA0=15゚ が求める場合です。
そこで,∠OA0A1=30゚,∠OA1A0=135゚ ,正弦定理より,
S8=(4√3)(OA1/OA0)16=(4√3)(sin(30゚/sin135゚)16=(4√3)(1/√2)16=√3/64 になります。
[解答2]
△An+1BnBn+1 において、∠An+1BnBn+1=60゚ だから、
∠BnAn+1Bn+1=α とすれば、∠An+1Bn+1Bn=120゚-α で、正弦定理より、
An+1Bn+1/AnBn=An+1Bn+1/(An+1Bn+BnBn+1)
=sin60゚/{sinα+sin(120゚-α)}=sin60゚/{2sin60゚cos(α-60゚)}=1/{2cos(α-60゚)} 、
Sn+1/Sn=1/{4cos2(α-60゚)}=1/{2+2cos(2α-120゚)}=1/{2+2sin(2α-30゚)} 、
Sn=S0/{2+2sin(2α-30゚)}n になります。
本問においては、8α=120゚+180゚・k (k は負でない整数) と表され、α<120゚ だから、
α=15゚+22.5゚・k=15゚,37.5゚,60゚,82.5゚,105゚ で、 sin(2α-30゚) が最小になるのは、
α=15゚,105゚ のときで、 S8=(4√3)/28=(√3)/64 です。
[参考]
α=37.5゚,82.5゚ のとき、 S8=(4√3)/(2+√2)8=(4√3)(√2-1)8/(√2)8=(√3)(577-408√2)/4 、
α=60゚ のとき、 S8=(4√3)/48=(√3)/16384 です。
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