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[答365] 最大角を作る折れ線の長さ

ヤドカリ

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[答365] 最大角を作る折れ線の長さ


 xy平面上で、O(0,0),A(13,0),Pは直線 12x-5y+52=0 上の、(-13/3,0)以外の点として、

 ∠OPA が最大になる点Pについて、 OP+PA=?


[解答1]

 P(0,52/5) のとき、tan∠OPA=OA/PO=13/(52/5)=5/4 、

 P(13,208/5) のとき、tan∠OPA=AO/PA=13/(208/5)=5/16 です。

 t≠0,13 のとき、P(t,u) とおくと、5u=12t+52 で、

 PAの傾きは u/(t-13) 、POの傾きは u/t だから、

 tan∠OPA=|u/(t-13)-u/t|/|1+{u/(t-13)}{u/t}|=|ut-u(t-13)|/|t(t-13)+u2|

  =|25・13u|/|25t(t-13)+25u2|=|5・13(12t+52)|/|25t(t-13)+(12t+52)2|

  =260|3t+13|/|169t2+923t+522|=20|3t+13|/(13t2+71t+208)

 この式は、t=0,13 のときも上記の結果に合致します。

 ここで、(3t+13)/(13t2+71t+208)=k とおけば、

 13kt2+71kt+208k=3t+13 だから、k=0 のとき t=-13/3 、

 k≠0 のとき、13kt2+(71k-3)t+13(16k-1)=0 で、 t は実数だから、

 判別式 (71k-3)2-676k(16k-1)≧0 、5775k2-250k-9≦0 、

 (385k+9)(15k-1)≦0 、-9/385≦k≦1/15 です。

 tan∠OPA=20|k| だから、これが最大になるのは、k=1/15 のときです。

 このとき、13kt2+(71k-3)t+13(16k-1)=0 より、

 (13/15)t2+(71/15-3)t+13(16/15-1)=0 、13t2+26t+13=0 、

 t=-1 ,u=8 になります。

 従って、P(-1,8) で、 OP+PA=√65+2√65=3√65 です。  


[解答2]

 △POAの外心は線分OAの垂直二等分線上の点だから、C(13/2,c) とおきます。

 ∠OPA=∠OCA/2 が最大になればよいことになります。

 △POAの外接円の半径は OC=√(169/4+c2) で、

 Cと 12x-5y+52=0 の距離はヘッセの公式により、|130-5c|/13 だから、

 △POAの外接円と 12x-5y+52=0 が共有点をもつ条件は、

 |130-5c|/13≦√(169/4+c2) 、2|130-5c|≦13√(169+4c2) 、

 2乗して、100c2-5200c+67600≦28561+676c2

 576c2+5200c-39039≧0 、(72c+1001)(8c-39)≧0 、c≦-1001/72,39/8≦c 、

 |c|が最小のとき ∠OCAが最大になりますので、C(13/2,39/8) のときです。

 これは、△POAの外接円と 12x-5y+52=0 が接するときで、

 Cを通り、この直線に垂直な直線は、5(x-13/2)+12(y-39/8)=0 、5x+12y-91=0 です。

 従って、12x-5y+52=0,5x+12y-91=0 の交点がPで、P(-1,8) です。

 このとき、 OP+PA=√65+2√65=3√65 です。   

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Comments 20

There are no comments yet.
tsuyoshik1942  
No title

答は求まりましたが、例によって、解いたというより答を探し当てた口です。
直近の問題も一問解けません、こちらはこの「365」問と違って答だけは容易に推定できるのですが!もう少し粘ってみます。

アキチャン  
No title

おはようございます。
何かのお花に似ていますねf(^。^;
この時期に咲いてくれるのは本当にうれしいですよね。
家にもまだ咲いてくれるキンギョソウがあるのですが、いじらしいです(o^-^o)
ポチ♪

ひとりしずか  
No title

散歩途中の庭で初秋に見ました~
目立ちますよねーポチ☆

uch*n*an  
No title

この問題もかなり骨のある問題でした。
実際,[解答1]も[解答2]もかなり複雑かつ面倒になっているようです。
私の解法も二つ。
(解法1)は,アイディアは[解答2]と似ていますが初等幾何を使い計算の手間を省いた解法です。
ご参考までに示しておきますね。
(解法2)は,計算の仕方は違いますが,[解答1]と同様に傾きを使う解法です。

uch*n*an  
No title

(解法1)
B(-13/3,0) とし,直線 12x - 5y + 52 = 0 を L とします。
A,O から L に垂線を下ろしそれぞれの足を H,I とします。
I,O は,A から H に向かって AH よりも左側にあります。
まず,P の y 座標が負の場合を考えます。
P は明らかに I よりも L 上の下側,y 座標が小さい方,にあります。
L 上に P'H = PH となる点 P' を H に関して P と反対側に取ります。
すると,P' の y 座標は正,∠APP' = ∠AP'P です。
一方,I は A から H に向かって AH よりも左側だったので,P も左側,P' は右側です。
そこで,∠OPP' > ∠OP'P がいえ,
∠OPA = ∠APP' - ∠OPP' < ∠AP'P - ∠OP'P = ∠OP'A になります。
そこで,∠OPA が最大の場合を考えるので,P の y 座標が正の場合を考えれば十分です。

uch*n*an  
No title

さて,このとき,O,A の通る円を考えます。円が L と交わる場合,交点を Q,R とすると,
P が Q,R 以外の QR 上にあるとき,∠OPA > ∠OQA = ∠ORA となります。
そこで,円が L と接し Q = R = P となる場合に ∠OPA が最大になると分かります。
P は,t を実数として P(5t - 1, 12t + 8) と書けるので,方べきの定理より,
BP^2 = BO * BA,
(5t + 10/3)^2 + (12t + 8)^2 = 13/3 * 52/3,(5^2 + 12^2)(3t + 2)^2 = (2 * 13)^2,
(3t + 2)^2 = 2^2,3t + 2 = ±2,t = 0 又は - 4/3
P の y 座標は正だったので,P(-1,8) となり,
OP + PA = √65 + √260 = √65 + 2√65 = 3√65
になります。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このジギタリスは近くの公園に咲いています。
他の花が枯れてなくなっているのに元気よく。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
解ききるのは大変だと思われますが、うまい方法でなくても、
計算力で何とかする力も必要です。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私がこの花を今年初めて見たのは梅雨時だったと思います。
それとは別の所ですが、元気に咲いていました。

ヤドカリ  
No title

> 2011/12/30(金) 午前 9:16の鍵コメ様
他のサイトの問題も併せて、年末年始、スッキリ解ければいいですね。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
このところ、少し厄介な問題が続いています。
問題番号に合わせていたらこのようになってしまいました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
キンギョソウも寒い中、時々見かけます。
この時期の花には元気がもらえ、嬉しいですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私が今年初めて見たのは梅雨時だったと思います。
初秋にもよく見ましたが、今はこれしか見られません。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、詳しい解答を載せて頂き、有難う御座います。
私の[解答1]は純粋に計算だけにしました。
[解答2]は流れでそのまま交点を求めましたが、
貴殿の(解法1)のように、
B(-13/3,0)として方べきの定理を使うのもよかったかも知れません。

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
あと2時間ほどで当直から解放されます...^^
机の上を少しは片付けられましたぁ♪
これは...OAが一番長い弦になるような円を考えればいいことに気づけて解けました ^^v
あとの計算は大変で...わたしの力には余りましたけど...Orz...
直近の問題解けそうで解けないなぁ...^^;...
のんびり熟成させてみますぅ~Orz~^^v

黒翼  
No title

確かに計算力も必要ですね.

実際,通常ではあまり目にしないような因数分解も解法の中にありますし,かなりの計算力が要求される問題のようですね.

ただ,僕は解答の方針すらつかむことができませんでした.計算力以前の問題もあるようです.

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
> 机の上を少しは片付けられましたぁ♪
後は、今年に解き残した問題ですね。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、再度のコメントを有難う御座います。
[解答1]は計算力にものを言わせての解き方です。
座標を使って、計算で図形が分かるのはいつも感心します。

ニリンソウ  
No title

夏の花かと思っていたんですよ、ジキタリス
狐の手袋とも言われてますね。
まだ路地に花が見られる大阪の暮れですね。

明日は伺えないでしょう
来年もそうぞよろしくお願いします ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
普通は冬にはない手袋ですよね。
こちらこそ、来年もよろしくお願いします。