FC2ブログ

Welcome to my blog

[答366] 四角形の2辺の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ



[答366] 四角形の2辺の長さ


 直径が 145/4 の円に内接する四角形ABCDがあり、AB=AD=25,BC+CD=42 です。

 BC>CD として、2つの辺 BC,CD の長さは?


[解答1]

 ∠ACB=∠ACD=θ とすれば、正弦定理より、sinθ=25/(145/4)=20/29 になり、

 cos2θ=1-2sin2θ=1-2・400/841=41/841 、cos∠BCD=41/841 ,cos∠BAD=-41/841 です。

 余弦定理より、BD2 は、

 BC2+CD2-2・BC・CDcos∠BCD=AB2+AD2-2・AB・ADcos∠BAD 、

 (BC+CD)2-2・BC・CD-2・BC・CD・(41/841)=252+252-2・25・25(-41/841) 、

 422-2(882/841)・BC・CD=1250+51250/841 、-2(882/841)・BC・CD=-514+51250/841 、

 1764・BC・CD=514・841-51250 、BC・CD=216 、BC+CD=42 と併せて、

 BC,CD は x2-42x+216=0 の解となります。

 (x-36)(x-6)=0 、x=36,6 、BC>CD だから、BC=36 ,CD=6 になります。


[解答2]

 直径AFを描くと、BF=DF=√{(145/4)2-252}=(5/4)√(292-202)=105/4 です。

 四角形ABFDにトレミーの定理を適用して、

 AF・BD=AB・DF+AD・BF 、(145/4)BD=2・25・105/4 、BD=2・25・21/29 です。

 四角形ABCDにトレミーの定理を適用して、

 AC・BD=AB・CD+AD・BC 、(2・25・21/29)AC=25CD+25BC=25(BC+CD)=25・42 、AC=29 です。

 次に、△AEB≡△ACD となるように点EをCBの延長上にとり、AからBCにおろした垂線の足をHとすれば、

 HC=EC/2=(BC+CD)/2=21 だから、AH=√(292-212)=20 、

 HB=√(252-202)=15 、BC=21+15=36 、CD=42-36=6 になります。


[参考]

 AC=29 を得たら、(解答で何回も使いましたが) 劣弧AC上に CD'=25 となる点D' をとれば、

 四角形ABCD'は等脚台形になり、トレミーの定理を適用して、AC・BD'=AB・CD'+AD'・BC 、

 AD'=CD,BD'=AC=29 だから、292=252+BD・BC 、BC・CD=216 、

 BC,CD は x2-42x+216=0 の解となり、BC=36 ,CD=6 になります。

.

スポンサーサイト



Comments 19

There are no comments yet.
ひとりしずか  
No title

なんて可愛らしい実!!!
ツヤツヤ・・・新春にピッタリ!
希望に満ちてます・・・ポチ☆

いっちゃん  
No title

おはようございます^^
姫りんごですか?
すごく可愛いですね♪
少女のころのぽっぺを思い出しました^^笑
こどもたちの笑顔のようですね。。ポチ

古い人  
No title

綺麗な赤ですね千両ですか。

正月の飾りに使う千両と違いますか。
よく似ていますね万両は実がして向きに付きますね。
良く判りません。 ポチ。

ひとりしずか  
No title

分かりました万両ですねー
葉の形でそう思います~

uch*n*an  
No title

この問題は,決して簡単とは思いませんが,最近の出題の中では比較的容易だったと思います。
私の解法は,まとめたのは三つですが,幾つかのバリエーションもコメントしました。
(解法1)は,[参考]と同じ。
(解法2)は,途中までは[解答2]と同じですが,F をもっと利用し E を取らずに済ます解法です。
なお,バリエーションとして,E を取る[解答2]をコメントしました。
(解法3)は,[解答1]と同じ。ただ,ちょっとだけですが,計算が楽になるように工夫をしました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り万両です。下から撮ると、こんな画像になりました。
我ながらうまく写ってくれたと思います。

こっこちゃん  
No title

あけましておめでとうございます

お正月にふさわしく 可愛い満了の実ですね”ポチ
今年も宜しくお願いします。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ヒメリンゴに見えるような万両の接写です。
この頃コメントにとく少女の頃が出て来ますが、昭和も遠くなりましたね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
千両の写真は次に使う予定で、最初に万両の写真を使いました。
実が下向きについていますが、更に下から接写したので、こんな写真になりました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、解答に対する早速のコメントを有難う御座います。
難易度については、作問する時にいろいろ、遠回りも考えますので、
自分ではあまり分かりません。
また、この問題も、今解くと、Eをとって合同な三角形を作るかどうか?
貴殿のコメントの数々が勉強になります。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
お正月らしく万両の写真を使いました。
金運と健康運には恵まれる年がいいですね。

黒翼  
No title

解答を読めば納得できますね~

僕もあれこれ考えたのですが,基本的なことからつかめてませんでしたね.問題を解く感覚を早く取り戻さなくては.

ポチ☆

さっちゃんこ  
No title

こんにちは
万両の実綺麗な色で見入ってしまいました
艶も良く新春にふさわしい色合いが素晴しいですね ポチ

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
どのようにすれば解けるかを考えるプロセスが面白いですね。
また、解きに来てください。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとポチを有難う御座います。
下から接写したらこんな写真になりました。
デジカメでは失敗しても消せばいいので気楽です。

アキチャン  
No title

こんばんわ!
綺麗ですね~(o^-^o)
家の万両は、赤くなってからまだ撮ってませんf(^。^;
本当にきれいです♪ ポチ♪

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
去年の年末ジャンボはダメでしたが、
その思いを万両で…… 笑

ニリンソウ  
No title

ウフフ万両とは思わなかった、あまりに綺麗で
ヒゲも一本あったり~
やどかりさん接写上手いね、騙されそう(笑)

ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
私も万両を接写したのは初めてで、万両と思えない写真になりました。
だます心算はないけど、かわいく写りました。