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[答36] 自然数の和

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答36] 自然数の和


   1+2=3

   1+2+3+4+……+14=15+16+17+……+20

   1+2+3+4+5+…………+m=(m+1)+(m+2)+……+n

   1+2+3+4+5+6+…………+492=493+494+495+496+……+696


 上の計算に合う自然数m,nの値は?

 ただし、14<m<492, 20<n<696




[解答]

 1+2+3+4+5+…………+m=(m+1)+(m+2)+……+n

 m(m+1)/2=n(n+1)/2-m(m+1)/2

 2m(m+1)=n(n+1)

 4m(m+1)+1=2n(n+1)+1

 (2m+1)2=n2+(n+1)2

 (n, n+1, 2m+1)がこの形になるのは、[答34]https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-102.html の通り、

 (3,4,5), (20,21,29), (119,120,169), (696,697,985), …… 

 (m,n)=(2,3), (14,20), (84,119), (492,696), …… 

 この問題では、m=84, n=119。


[補足] ペルの方程式

 上の 2m(m+1)=n(n+1) は、(2n+1)2-2(2m+1)2=-1 と変形できます。

 「x2-2y2=-1」の自然数解x,yが求められたら、n=(x-1)/2, m=(y-1)/2 として解を得ます。

 「x2-2y2=-1」の自然数解x,yは、ペルの方程式と呼ばれるもので、

 (x,y)=(1,1), (7,5), (41,29), (239,169), (1393,985), (8119,5741), (47321,33461), …

 が知られています。対応するm,nは、 

 (n,m)=(0,0), (3,2), (20,14), (119,84), (696,492), (4059,2870), (23660,16730), …

 「x2-2y2=-1」の解き方は、

 別の記事 https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-107.html で紹介しています。

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Comments 10

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スモークマン  
No title

そっか...巧い変形に気付けなかった...^^;
こういう式に変形できる限り...そういう式は存在できるわけだ...♪

ゆうこ つれづれ日記  
No title

数字に目が回ってきそうです(^^ゞ
やどかりさんって凄い方ですねー。
ピンク一色のコスモスがきれいです。コスモスって人の心を
和ませてくれますね。ポチッ☆

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、ただ単なる数列の和と三平方が結び付くのが不思議です。
見つけた時は感動しました。不思議ですね。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメとポチを有難う御座います。
ゆうこさんのように自然や景色を題材にしたいです。
その前に行ってみたいです。

ニリンソウ  
No title

私も~ゆう子さん同様!
でも嬉しいナァ~奥様からコスモスの差し入れがあって! ご夫婦仲よしってわかりましたよ。
ポチ!

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメとポチを有難う御座います。
ニリンソウさんの、山歩きして紅葉を見てそれを題材にするのは素敵ですね。
私の妻もそうあってほしいと思うのですが、いつか通じるかと気長に待っています。

いっちゃん  
No title

こんばんは
私もコスモス大好きです。花びらが8枚と解っていても花占い
したくなることってありますよ。解ってるからするのかもしれません。
花びらに想いを託たい時ってありませんか?秋の夕暮れはそんな
気持ちになります。。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチ、どうもありがとう。
この記事は、数学の内容よりコスモスのコメントでもっているようで、複雑です。

いっちゃん  
No title

あはっは、
それほど、このコスモスに魅了されたってことは
奥様が撮られた写真は素敵だいうことでしょうね。。

ヤドカリ  
No title

あはっは、と笑うしかないようです。