[答367] 三角形の辺の比

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[答367] 三角形の辺の比


　△ABC において、cosA：cosB：cosC＝57：33：(－7) であるとき、 辺の長さの比 BC：CA：AB＝？



[解答1]

　BC＝a ，CA＝b ，AB＝c ，cosA＝57/k ，cosB＝33/k ，cosC＝－7/k (k＞57) とおきます。

　第１余弦定理より、

　a＝b･cosC＋c･cosB＝－7b/k＋33c/k だから、ka＝－7b＋33c ……(1)

　b＝c･cosA＋a･cosC＝57c/k－7a/k だから、kb－57c＝－7a ……(2)

　c＝a･cosB＋b･cosA＝33a/k＋57b/k だから、－57b＋kc＝33a ……(3)

　(2)＋(3) (k－57)(b＋c)＝26a 、(k＋57)(k－57)(b＋c)＝26a(k＋57) ……(4)

　(2)－(3) (k＋57)(b－c)＝－40a 、(k＋57)(k－57)(b－c)＝－40a(k－57) ……(5)

　{(4)＋(5)}/2 (k＋57)(k－57)b＝(－7k＋1881)a ……(6)

　{(4)－(5)}/2 (k＋57)(k－57)c＝(33k－399)a ……(7)

　(1)より、k(k＋57)(k－57)a＝－7(k＋57)(k－57)b＋33(k＋57)(k－57)c だから、

　k(k＋57)(k－57)a＝－7(－7k＋1881)a＋33(33k－399)a 、k³－3249k＝1138k－26334 、

　k³－4387k＋26334＝0 、(k－63)(k²＋63k－418)＝0 、

　k＝63，(－63±√5641)/2 、このうち k＞57 を満たすのは k＝63 です。

　(6)より 720b＝1440a 、(7)より 720c＝1680a となって、

　BC：CA：AB＝a：b：c＝720a：720b：720c＝720a：1440a：1680a＝3：6：7 です。


[解答2]

　4cosAcosBcosC＝2{cos(A＋B)＋cos(A－B)}cosC＝2cos(A＋B)cosC＋2cos(A－B)cosC

　 ＝cos(A＋B＋C)＋cos(A＋B－C)＋cos(A－B＋C)＋cos(A－B－C)

　 ＝cosπ＋cos(π－2C)＋cos(π－2B)＋cos(2A－π)

　 ＝－1－cos2C－cos2B－cos2A＝－1－2cos²C＋1－2cos²B＋1－2cos²A＋1

　 ＝－2cos²A－2cos²B－2cos²C＋2

　よって、1－cos²A－cos²B－cos²C－2cosAcosBcosC＝0 です。

　cosA＝57/k ，cosB＝33/k ，cosC＝－7/k (k＞57) とおけば、

　1－3249/k²－1089/k²－49/k²＋26334/k³＝0 、

　k³－4387k＋26334＝0 、(k－63)(k²＋63k－418)＝0 、

　k＝63，(－63±√5641)/2 、このうち k＞57 を満たすのは k＝63 です。

　次に、正弦定理により、BC：CA：AB＝sinA：sinB：sinC だから、

　BC²：CA²：AB²＝sin²A：sin²B：sin²C＝(1＋cosA)(1－cosA)：(1＋cosB)(1－cosB)：(1＋cosC)(1－cosC)

　 ＝(1＋57/k)(1－57/k)：(1＋33/k)(1－33/k)：(1－7/k)(1＋7/k)

　 ＝(k＋57)(k－57)：(k＋33)(k－33)：(k－7)(k＋7)＝120･6：96･30：56･70＝9：36：49

　よって、BC：CA：AB＝3：6：7 です。

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