FC2ブログ

Welcome to my blog

[答367] 三角形の辺の比

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答367] 三角形の辺の比


 △ABC において、cosA:cosB:cosC=57:33:(-7) であるとき、 辺の長さの比 BC:CA:AB=?



[解答1]

 BC=a ,CA=b ,AB=c ,cosA=57/k ,cosB=33/k ,cosC=-7/k (k>57) とおきます。

 第1余弦定理より、

 a=b・cosC+c・cosB=-7b/k+33c/k だから、ka=-7b+33c ……(1)

 b=c・cosA+a・cosC=57c/k-7a/k だから、kb-57c=-7a ……(2)

 c=a・cosB+b・cosA=33a/k+57b/k だから、-57b+kc=33a ……(3)

 (2)+(3) (k-57)(b+c)=26a 、(k+57)(k-57)(b+c)=26a(k+57) ……(4)

 (2)-(3) (k+57)(b-c)=-40a 、(k+57)(k-57)(b-c)=-40a(k-57) ……(5)

 {(4)+(5)}/2 (k+57)(k-57)b=(-7k+1881)a ……(6)

 {(4)-(5)}/2 (k+57)(k-57)c=(33k-399)a ……(7)

 (1)より、k(k+57)(k-57)a=-7(k+57)(k-57)b+33(k+57)(k-57)c だから、

 k(k+57)(k-57)a=-7(-7k+1881)a+33(33k-399)a 、k3-3249k=1138k-26334 、

 k3-4387k+26334=0 、(k-63)(k2+63k-418)=0 、

 k=63,(-63±√5641)/2 、このうち k>57 を満たすのは k=63 です。

 (6)より 720b=1440a 、(7)より 720c=1680a となって、

 BC:CA:AB=a:b:c=720a:720b:720c=720a:1440a:1680a=3:6:7 です。


[解答2]

 4cosAcosBcosC=2{cos(A+B)+cos(A-B)}cosC=2cos(A+B)cosC+2cos(A-B)cosC

  =cos(A+B+C)+cos(A+B-C)+cos(A-B+C)+cos(A-B-C)

  =cosπ+cos(π-2C)+cos(π-2B)+cos(2A-π)

  =-1-cos2C-cos2B-cos2A=-1-2cos2C+1-2cos2B+1-2cos2A+1

  =-2cos2A-2cos2B-2cos2C+2

 よって、1-cos2A-cos2B-cos2C-2cosAcosBcosC=0 です。

 cosA=57/k ,cosB=33/k ,cosC=-7/k (k>57) とおけば、

 1-3249/k2-1089/k2-49/k2+26334/k3=0 、

 k3-4387k+26334=0 、(k-63)(k2+63k-418)=0 、

 k=63,(-63±√5641)/2 、このうち k>57 を満たすのは k=63 です。

 次に、正弦定理により、BC:CA:AB=sinA:sinB:sinC だから、

 BC2:CA2:AB2=sin2A:sin2B:sin2C=(1+cosA)(1-cosA):(1+cosB)(1-cosB):(1+cosC)(1-cosC)

  =(1+57/k)(1-57/k):(1+33/k)(1-33/k):(1-7/k)(1+7/k)

  =(k+57)(k-57):(k+33)(k-33):(k-7)(k+7)=120・6:96・30:56・70=9:36:49

 よって、BC:CA:AB=3:6:7 です。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
こっこちゃん  
No title

こんにちは

真っ白で素敵なスイセン 素晴しい~~
今年も色んな花で楽しませてくださいね。ポチ

黒翼  
No title

この問題の計算は骨が折れますね.

僕も何度も挑戦しましたが答に至らず…
ポチ☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
これはグリコのマークでしたぁ...~^^;~
読んでも難しいぃ~~~
図形的な意味ってどうなんでしょ?
正弦定理の対のような定理にも思っちゃうんだけど...? ♪

ニリンソウ  
No title

汚れなき白、真っ白な水仙ね~
やどかりさんの好みだわきっと、誰が見ても白はいい
ポチ

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私は、まだ仕事ではありませんが、仕事初めの方もいる日です。
真っ白な気持ちで1年を過ごしたいものです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ガリルという品種の水仙です。
白い色で身が引き締まるかと思いましたが、
今日の風の冷たさの方が身が引き締まりますね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、今年も此の水仙のように真っ白で行きたいですが、
そのうちに、周りに染まりそうです。笑

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、早速のコメントを有難う御座います。
こちらこそ、今年もよろしくお願いします。
常連さんなら答は分かると思っていましたが、
それをどのように導くか、ゆっくり考えてほしい問題でした。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
素晴しい色に染め上げて行けるかは分かりませんが、日々努力は大切ですね。
まずは、去年のような「被災地」が新たに出来ないことを願うばかりです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、第2余弦定理での解答を有難う御座います。
第1余弦定理は角を2つ使いますが、辺の長さの2乗を使いません。
第2余弦定理は角は1つですが、辺の長さで2乗を使います。
本問の場合は、角の余弦の比が分かっていますので、角をいくつ使っても大差ないので、
第1余弦定理で、[解答1]になりました。
使う機会が少ない第1余弦定理を使ってほしいのが本問です。
なかなか、そのような問題は思いつきませんが……。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
ことしも、あちこちで写真を撮る心算でいますが、
とりあえず、今、花の少ない時期、うまく写真を撮れるかどうか……。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
面倒な計算でも、こうすれば絶対解けるという確信があればできますが、
その方針で解けるかどうかの迷いがあればできませんね。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
図形的意味は考えませんでしたが、計算は大変ですね。
計算は、読んでいたら難しいものです。
自分でして、つまった所だけ見るほうが楽です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、私の好きな白い花です。
今年もあちこちで写真を撮らなくっちゃ。

黒翼  
No title

そういえば,第一余弦定理はあまり出会いませんね.

僕もたった一度どこかで公式をみたことがある程度です.このように,効果的に利用できる問題は初めてです.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
第一余弦定理を効率的に使える問題は少ないと思います。
そんな問題が出来たことが1つの収穫です。

夕顔  
No title

あけましておめでとうございます^^
あらま、桜みたい♪
水仙?きれいですね~^^
あ、そうそう、今日歩いていて「ネズミノフン」だったか、そんな木を見つけて思わずやどかりさんを連想しました(植物が好きって言う意味でですよ!)。
写真撮ったけど、ブログにアップするのがちょっとめんどくなっちゃったので後日、気が向いたら・・・^^;
ラオスにいた頃は毎日写真月でブログ書いてたのに・・・^^;

ヤドカリ  
No title

夕顔さん、年頭のご挨拶とコメントを有難う御座います。
この水仙は白くて清楚でした。
ラオスのころの夕顔さんは日焼けで白くはなかったと思いますが、
今は、この水仙に近いくらい白いのでは?

ブログの記事をまた見に行きますので、今年もよろしくお願いします。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
赤い実の次は真っ白いお花で年の初めにはぴったりです^^
白一色の花は気品が漂ってて素敵ですね。。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
年頭を意識して写真をアップしました。
白い花は清々しいです。