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[答370] 約数の和が奇数

ヤドカリ

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[答370] 約数の和が奇数


 自然数nに対して、その正の約数の総和を S(n) で表すことにします。

 例えば、S(6)=1+2+3+6=12 です。では、5桁の自然数nのうち、S(n) が奇数になるnは何個?


[解答1]

 n=paqbrc…… と、素因数分解すると、 S(n)=S(pa)S(qb)S(rc)…… になります。

 従って、S(n) が奇数になるのは、S(pa),S(qb),S(rc),…… が全て奇数になるときです。

 S(pa)=1+p+p2+……+pa だから、

 p=2 のとき、S(2a) は必ず奇数になり、

 p≠2 のとき pは奇数だから、S(pa) はaが偶数のときだけ奇数になります。

 従って、S(n) が奇数になるnは、2以外の素因数の指数がすべて偶数であるときです。

 言い換えれば、nが平方数 か nが 2・平方数(n/2 が平方数) と表されるときになります。

 nが平方数になるのは、[√99999]-[√9999]=316-99=217 個、

 n/2 が平方数になるのは、[√49999]-[√4999]=223-70=153 個で、

 合計 217+153=370 個になります。


[解答2]

 結局、nの奇数の約数が奇数個あればよいから、

 nを2で割れるだけ割って得られる奇数の約数が奇数個であればよいことになります。

 約数が奇数個になるのは平方数だから、

 nが平方数 か nが 2・平方数(n/2 が平方数) と表されるときになり、

 以下、[解答1]と同様、370 個になります。

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Comments 20

There are no comments yet.
黒翼  
No title

解答2も解答1も最終的な方針は同じになるのですね.

直感的に考えても,条件を満たす数は,平方数か,2*平方数となるのですね.
ポチ☆

ひとりしずか  
No title

菜の花の黄色が春の予感を運んでくれました~ポチ☆

ニリンソウ  
No title

おはようございます。
早速 菜の花! すっくと立って咲いてる
春の色嬉しいね。 ポチ

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
真っすぐに伸びて咲いている菜の花
凛として元気を貰えますね
寒さは是からまして行きますが
その分春も近づいて居るのですねー
黄色の花の色 元気を貰えます('-'*)アリガト♪ ポチ

古い人  
No title

もう菜の花ですね元気を貰えそうですね。

これからは彼方此方で見られそうですね。
もう其処まで春が来ていますね。 ポチ。

アキチャン  
No title

こんにちわ!
早咲きの菜の花を見ても、もう春の感じがします(o^-^o)
うれしいですね♪ ポチ♪

uch*n*an  
No title

私の解法は[解答1]でした。
実は[解答2]も頭にはあったのですが,同じような気がして解法としてはまとめませんでした。
ただ,こうして比べると,[解答2]は算数解法,[解答1]は数学解法,という感じかなぁ。
算数としてはやや難,数学としては標準的かやや易,という感じでしょうか。

こっこちゃん  
No title

こんにちは

菜の花 春近しデスね”
こちらも今朝見ました~ 春よコイですね” ポチ

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
>言い換えれば、nが平方数 か nが 2・平方数(n/2 が平方数) と表されるとき...
に最初気づけなかった...^^;...
オイラーのトーティエント関数φ(n)=x...
「x が1より大きい奇数の時、x はノントーシェントである。」...wikiより...
と同じような背景ですよね...^^;...?
いい加減なこと言ってるか...Orz...

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
[解答2]の理由付けが簡明だと思います。
簡単な説明はなかなか大変です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
菜の花の黄色は春の色ですね。
雪の多いそちらで咲く頃が待ち遠しいと思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
雪の深い新潟で菜の花の黄色を見る頃は雪解けの春ですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
「冬来たりなば春遠からじ」と申します。
早い時期からの菜の花の黄色は嬉しい色ですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私はもう何ヶ所かで見ました。
菜の花に限らず、春は黄色の花が目につきますね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
後方の木々の色に比較すると、菜の花の黄色は目立ちました。
まだまだ寒いですが、春が待ち遠しいです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
> [解答2]は算数解法,[解答1]は数学解法,という感じかなぁ。
私もそのように感じます。
算数的な説明ができた久々の問題でした。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
この菜の花、少し前から咲いていますが、例年、
後方のしだれ桜が咲くころも咲いています。
長い期間、黄色が元気を与えてくれます。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
私はそれに気づいて問題にしました。
作問にはいろんな事柄が浮かんでは消えていきます。

いっちゃん  
No title

もう菜の花ですか。。春の予感ですね。。
寒い日が続いていて、こんなお花に出逢えるだけで
こころはあったかくなりますね。。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
寒い日が続き、春の訪れを首を長くして待っています。
そんな時に春の花に出会えると嬉しいです。