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[答371] 対称式の値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答371] 対称式の値


 f(n)=an+bn+cn として、 f(1)=11, f(2)=59, f(6)=118379 のとき、 f(3)=?



[解答]

 bc+ca+ab={(a+b+c)2-(a2+b2+c2)}/2=(112-59)/2=31

 だから、abc=s とおくと、

 f(3)=(a+b+c)(a2+b2+c2-bc-ca-ab)+3abc=11(59-31)+3s=308+3s

 また、a,b,c は、x3-11x2+31x-s=0 の解になります。

 a,b,c は、xn+3=11xn+2-31xn+1+sxn を満たすから、

 x=a,b,c を代入して辺々加えると、f(n+3)=11・f(n+2)-31・f(n+1)+s・f(n) となります。

 f(1)=11, f(2)=59, f(3)=308+3s だから、

 f(4)=11・f(3)-31・f(2)+s・f(1)=11(308+3s)-31・59+s・11=1559+44s 、

 f(5)=11・f(4)-31・f(3)+s・f(2)=11(1559+44s)-31(308+3s)+s・59=7601+450s 、

 f(6)=11・f(5)-31・f(4)+s・f(3)=11(7601+450s)-31(1559+44s)+s(308+3s)

  =35282+3894s+3s2

 f(6)=a6+b6+c6=(a2+b2+c2){a4+b4+c4-(bc)2-(ca)2-(ab)2}+3(abc)2

  =59〔(a2+b2+c2)2-3{(bc)2+(ca)2+(ab)2}〕+3s2=59〔592-3{(bc)2+(ca)2+(ab)2}〕+3s2

  =59〔592-3{(bc+ca+ab)2-2abc(a+b+c)}〕+3s2=593-177(312-2・11s)+3s2=35282+3894s+3s2

 と計算しても構いません。

 よって、3s2+3894s+35282=118379 、s2+1298s-27699=0 、

  (s-21)(s+1319)=0 、s=21,-1319 です。

 f(3)=308+3s=371,-3649 になります。


[参考]

 s=21 のとき、a,b,c は、x3-11x2+31x-21=0 の解になります。

 すなわち、(x-3)(x-7)(x-1)=0 、x=3,7,1 です。

 よって、a3+b3+c3=33+73+13=371 です。

 このように、各桁の数のn乗の和が元の数になる数をナルシスト数といいます。

 3桁のナルシスト数は、153,370,371,407 で、いずれも3乗の和が元の数になります。

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Comments 20

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古い人  
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其方も蝋梅が咲いて来ましたね。

春一番に咲く花此の花が咲くとほっとします。
蝋細工のような花香りもいい香りですね。
ポチ。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
蝋梅が綺麗ですね
あの甘ーい香りが漂ってきそうです
此の蝋梅はソジン蝋梅とかいうそうですが
此方で見かけるのは殆どがこちらですね
中が赤く成る本当の?蝋梅は余り見かけませんね ポチ

こっこちゃん  
No title

こんにちは

ローバイは 透き通って 見えるはなで

香りが良いので好きな花です~ ポチ

uch*n*an  
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この問題は,類題を何回か見たことがありますが,問題番号との絡みで計算が面倒でした。
私の解法は二つですが,その違いは主に f(6) の計算の仕方の違いで,[解答]と同じでした。
なお,[参考]にも気付いてはいましたが,名前までは知りませんでした。
言い得て妙,という気もする反面,何か変な名前,というのが本音のところ。

ニリンソウ  
No title

蝋梅が路地で咲いてるんですね。
風は冷たくても春遠からじですね。

ポチ

ひとりしずか  
No title

花びらが素敵に写ってます~
蕾が沢山~いっぱい咲いたらここだけ春来ますね~ポチ☆

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これは苦労しました...目途はついても計算がややこしすぎて...^^;
ナルシスト数ってのは知らなかったけど...ラマヌジャンの逸話を思い出しました...♪
「ラマヌジャンの逸話として有名なものの一つに次のものがある。
1918年2月ごろ、ラマヌジャンは療養所に入っており、見舞いに来たハーディは次のようなことを言った。
「乗ってきたタクシーのナンバーは1729だった。さして特徴のない、つまらない数字だったよ」
これを聞いたラマヌジャンは、すぐさま次のように言った。
「そんなことはありません。とても興味深い数字です。それは2通りの2つの立方数の和で表せる最小の数です」
実は、1729は次のように表すことができる。
1729 = 12^3 + 1^3 = 10^3 + 9^3
すなわち、1729が「A=B^3+C^3=D^3+E^3」という形で表すことのできる最小の数であることを、ラマヌジャンは即座に指摘したのである...」...wikiより...
1729はラマヌジャン数 or タクシー数と呼ばれてるらしい...Orz...

黒翼  
No title

この問題は計算が大変でしたね.
方針はすぐにわかりましたが,計算量が多くてすごく時間がかかりました.

いずれの方法でも計算は大変そうですが,f(4),f(5),f(6)と順に計算する方が,対称式のわずらわしい計算がなくなるのはうれしいような気がします.

ナルシスト数というのは初めて知りました.問題自体は解けたもののこの事実に気づくことはできませんでした.いろいろと参考になります.

ポチ☆

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ロウバイの黄色は気持ちを明るくしてくれます。
春の花はいいですね。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ロウバイの基本種は、花の中心部は暗紫色だそうですね。
見たい気持ちもありますが、ソシンロウバイの全体が黄色のも魅力的です。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
香りもいいですし、姿も魅力的で、黄色が暖かさを運んでくれるようで、
私も好きな花です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私も変な名前だと思いましたが、そのように名付けられています。
いろいろなことを考える人がいるのですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
はい、路地で咲いています。
出勤途中に別の場所でも見ました。
仰るように「春遠からじ」です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
咲いている花もいいですが、蕾に未来の希望を感じますね。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
ラマヌジャンの1729の逸話は有名ですね。
頭に沢山の数がネットのように繋がって入っていたのでしょう。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントとポチを有難う御座います。
f(4),f(5),f(6)と順に計算する方法は、4項間の漸化式の考え方です。
逆に、4項間の漸化式を解くときに3次方程式の解を使います。
一見異なるものが繋がって来るのは面白いですね。

いっちゃん  
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こんばんは~
蝋梅美しいですね。。初詣した有徳神社にも咲いていました。。春を先取りした感じ♪
ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
蝋梅は春を呼ぶようですね。
初詣で見られれば今年は良いことがありそうです。

アキチャン  
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ロウバイも、やさしい色に撮れてますね(o^-^o) ポチ♪

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
ロウバイも沢山咲く季節になりました。
淡い色ですので、撮るときにバックが気になります。