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[答372] 解が等比数列

ヤドカリ

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[答372] 解が等比数列


 k を実定数とする x の3次方程式 x3-x2+(2k+1)x-17k-7=0 の解 α,β,γ が、

 この順に実数を項とする等比数列をなすとき、βの値は?


[解答]

 解と係数の関係により、α+β+γ=1 ,βγ+γα+αβ=2k+1 ,αβγ=17k+7 です。

 また、α,β,γ が等比数列をなすから、β2=αγ で、この条件により、

 α+β+γ=1 ,β(α+β+γ)=2k+1 ,β3=17k+7 です。

 β=2k+1 ,β3=17k+7 となって、

 2β3-17β=2(17k+7)-17(2k+1)=-3 、2β3-17β+3=0 、

 (β+3)(2β2-6β+1)=0 、β=-3,(3±√7)/2 になります。

 また、3次方程式 x3-x2+(2k+1)x-17k-7=0 は、

 x3-x2+βx-β3=0 、(x-β){x2+(β-1)x+β2}=0 、

 α,γは、x2+(β-1)x+β2=0 の解で実数だから、判別式≧0 、

 (β-1)2-4β2≧0 、(3β-1)(-β-1)≧0 、-1≦β≦1/3 です。

 結局、β=(3-√7)/2 だけが答になります。

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Comments 19

There are no comments yet.
スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
β^2=α*γ
を使ってるから...最後にチェックがいるわけですね...^^;
どうしてすべてが解にならないのかが怪だったし...
等比の比がわからなかったです...Orz...

黒翼  
No title

この問題は比較的早く解けたと思うのですが,だらだらと面倒な計算をしていましたね.

特に,最後の解の判別は一つ一つ地道に調べましたので,かなり遠回りに…計算量が多くなかったので助かりましたが

今後の計算の際に参考としたいと思います.ポチ☆

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、早速のコメントを有難う御座います。
βを求めた時点で「実数を項とする」の条件を使っていませんので、
最後に確認が必要です。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントを有難う御座います。
なるべく一度に調べる方法を考え、それがダメなら、1つ1つ検証です。

ひとりしずか  
No title

ガラス越しに透過した花びらが嬉しそう・・・
わたしも太陽の陽射しに透過されるような気がする~ポチ☆

古い人  
No title

同じ被写体でも角度により可なり違いが分かりますね。

可なり好い勉強になります。
ポチ。

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
日差しの部分と影の部分が上手くかみ合って素晴らしいですネ
シクラメンも日差しを喜んでいるようですね ポチ

ゆうこ つれづれ日記  
No title

シクラメンが元気で美しく咲いていますね。
ポチッ☆
私のシクラメン、お部屋にいれるのを忘れて一晩玄関フードに
置いて寝てしまったら、もしかして枯れてしまったかもしれません。
残念だわ~~

uch*n*an  
No title

この問題,私は最初,βが実数,を読み飛ばしていて,
しかも,α,γも求めておこうと思ったので,
βの一つずつに対して計算していました。
実数という条件に気付いて,あわてて修正した次第です。
確かに,先にβの範囲を絞った方がいいですね。
考え方は標準的なので,大学入試にもよさそうな問題です。

uch*n*an  
No title

>この問題,私は最初,βが実数,を読み飛ばしていて,
α,β,γのすべてが実数,ですね。またも書き間違い。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ガラス越しに差し込む光に暖かさを感じる季節ですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
光の当たったシクラメン、旨く撮れるかどうか分からなかったのですが、
撮ってみると暖かい雰囲気が出ました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
背景と区別できるような写真になるかどうかが不安でしたが、
けっこう旨く写ってくれました。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
暖かい所を花も喜んでいるのでしょう。
ねこのように移動できないのが植物の悲しさですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
この問題は、α,β,γのすべてが実数という条件でβが1つに絞れるだけでなく、
一番簡単な値が省かれる所が気に入っています。

ニリンソウ  
No title

窓辺で撮ってますね、逆光が効いています
ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
逆光で自信がなかったのですが、意外にきれいに撮れました。

アキチャン  
No title

やさしい色に撮れていますね~(o^-^o)
最近、カメラが変わりましたか?

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
カメラを変えたわけではありませんが、光の加減でこんな写真になりました。