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[答373] 回数の標準偏差

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答373] 回数の標準偏差


 袋の中に、○球が49個,●球が15個の 合計64個の球が入っています。

 この袋から無作為に1球を取り出し、●ならばそこで終了し、

 ○ならば袋に戻し、また64球から無作為に1球をとりだし、●が出るまで続けます。

 ●が X回目に取り出されるものとするとき、確率変数Xの標準偏差 σ(X)=?


[解答]

 1球を取り出すとき、●が出る確率をpとし、q=1-p とします。(p=15/64 です)

 Xの確率は pqX-1 になりますので、Σを X=1,2,3,……,n の和として、

 E=ΣXpqX-1 ,F=ΣX2pqX-1 とすれば、

 n→∞ のときの E が期待値 ,F-E2 が分散になります。

 まず、ΣpqX-1=p(1-qn)/(1-q)=1-qn です。

 E=ΣXpqX-1=ΣpqX-1+Σ(X-1)pqX-1=1-qn+ΣXpqX-npqn=1-qn+qE-npqn

 (1-q)E=1-qn-npqn 、pE=1-qn-npqn となって、 E=1/p-qn/p-nqn です。

 F=ΣX2pqX-1=ΣXpqX-1+Σ(X-1)pqX-1+Σ(X-1)2pqX-1

  =E+ΣXpqX-npqn+ΣX2pqX-n2pqn=E+qE-npqn+qF-n2pqn

 (1-q)F=E+(1-p)E-npqn-n2pqn 、pF=(2-p)E-npqn-n2pqn となって、

 F=(2/p-1)E-nqn-n2qn です。

 n→∞ のときの E→1/p ,F→(2/p-1)/p だから、

 期待値は 1/p ,分散は (2/p-1)/p-1/p2=(1/p-1)/p です。

 p=15/64 を代入して、

 期待値は 64/15 ,分散は (64/15-1)(64/15)=64・49/152 ,標準偏差は 8・7/15=56/15 です。


[参考]

 0<q<1 ,n → ∞ のとき、 nqn → 0 ,n2qn → 0 の理由。

 k を自然数として、 1/q>1 だから、1/q=1+h (h>0) とおけば、二項定理により、n>k のとき、

 1/qn=(1+h)nnk+1hk+1=n(n-1)(n-2)……(n-k)hk+1/(k+1)! 、

 1/nkqn>n(1-1/n)(1-2/n)……(1-k/n)hk+1/(k+1)! → ∞ となって、

 その逆数、 nkqn → 0 です。 


☆ crazy_tomboさんより「幾何分布」という名前を教わりました。

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Comments 19

There are no comments yet.
黒翼  
No title

標準偏差などについては勉強したことがなかったため,公式や計算も基本的なものを使いました.
無限和をとる段階で何回も計算ミスをしてしまい,解答が遅れてしまいました.

一つ質問なのですが,Σ(X-1)pq^(X-1)=(ΣXpq^X)-npq^nとなる理由が分かりません.
自分が不勉強なのもいけないのですが,計算してみても上手くこの式を導けないです.どうしてこのようになるのでしょうか.

ポチ☆を入れておきます.

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
ジャノメエリカ 花もちも良いし寒さにも強い!
綺麗で大好きな花です
今日も綺麗な花ありがとうございます ポチ

ひとりしずか  
No title

やぁー初めて・・・こちらには無いと思う~
冬の花なんですね~庭にこんな木があったら
パッと明るくなりますね(^^♪ポチ☆

古い人  
No title

ジャノメエリカ一つひつの花は小さいが。

数で勝負してますね一つの花をよく観ると。
可愛い顔していますねポチ。

uch*n*an  
No title

この問題は,定義に従って真面目に計算すればよい,という問題でした。
もっとも,計算自体は慣れていないと大変かも知れません。
ただ,よく行う計算なので,初見の方はよく復習しておくといいと思います。
私は,大学レベルの知識を使い少しズルをしましたが,高校の範囲内では大体こんな感じでしょう。
もっとも,ここまでやるなら,n -> ∞ で nq^n -> 0,n^2q^n -> 0,も証明する方が親切かも。
そうそう,この分布は幾何分布でしたね。言われて思い出しました。

ニリンソウ  
No title

エリカの可愛らしさ上手く撮りましたね
ポチ

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
Σ(X-1)pq^(X-1)=(ΣXpq^X)-npq^n となる理由は、
n=5 くらいに設定して、Σを使わずに両辺を書けば分かります。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ジャノメエリカって、面白い花ですね。
沢山の目玉で「撮って」と訴えているようでした。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
この時期に咲き誇って、あたりを明るくしてくれているようです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
小さい花が団体で咲いているとひとつひとつはあまり詳しく見ませんが、
写真を撮ると細かい所まで見えます。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
つい、常識的に使ってしまいましたが、
ご指摘の通り、n → ∞ で nq^n → 0,n^2q^n → 0 の証明を加えました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
良く見ると、かわいいですね。
沢山さいていると全体像しか見ませんが、神様の造形はひとつひとつ丁寧ですね。

黒翼  
No title

本当になりますね.単純な確認作業を怠っていただけのようです.
親切なご回答ありがとうございました.

n→∞でnq^n→0,(n^2)q^n→0となることは僕はロピタルの定理で確認しました.少々ずるい方法ですが不定形の極限を簡単に確認できますね.

lim[n→∞]n/{(1/q)^n}は∞/∞の不定形より,
lim[n→∞]1/{-(logq)(1/q)^n}=0と簡単です.
n^2ならもう一度,分母,分子をそれぞれ微分するだけで確認できます.

ただ,個人的にはロピタルの定理を使わずに極限を示すほうが好きです.参考の示し方はいろいろ活かせそうですね.参考にさせていただきます.

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
これはよくわかりませんでしたぁ...^^;...
・・・分布というヒントでサーチしたらぴったりのものを見つけたんだけど...その式の意味が分からなくって...^^;;;
統計は...難しい~...Orz...
Googleで出題されたという次の問題は...これの確率 1/2バージョンですよね?...but...二項分布との区別がよくわかりません...?

スモークマン  
No title


失礼しました...その問題ってのは...

「ある国では人々は生まれてくる子には男の子だけを欲しがりました。そのため、どの家族も男の子を産むまで子供を作り続けました。この国では男の子と女の子の人口比率はどうなりますか?」
っていうものらしいです...^^

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
ロピタルの定理の厳密な証明は大変なので、端から使用する気はありませんでした。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、いつもコメントを有難う御座います。
貴殿のコメントで、20000コメントに達しました。

この分布では、p=1/2 のとき、期待値 1/p=2 になりますので、
出生が1人ずつで、男女が半々の確率だと仮定すると、
平均すると、男の子が生まれるのは2人目ということになり、
男女比は 1:1 です。

アキチャン  
No title

エリカもいろいろな色がありますが、ピンクはかわいいですね(o^-^o)ポチ♪

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
エリカは全体として見るので、こんなにアップしたことがありませんでした。
ひとつひとつ丁寧に創られています。