[答37] ４つの正方形

[答37] ４つの正方形


　図のように４つの正方形があり、

　紫・赤・青の正方形の頂点１つずつが１直線上に並んでいます。

　４つの正方形の面積の合計が 90cm² のとき、赤の正方形の面積は？


[解答1]

　中図のように、複素平面を利用します。

　点を表す複素数を赤字のように０,α,β,γ,δとします。

　90ﾟの回転は×i,－90ﾟの回転は×(－i) で表されるから、

　緑字のように、－iα,α－iα,iβが決まります。

　γ－α＝－i(β－α)＝iα－iβ, δ＋iα＝i(iβ＋iα)＝－α－β

　γ－α＋iα＝2iα－iβ, δ－α＋iα＝－2α－β

　実数ｋを使って、γ－α＋iα＝k(δ－α＋iα) と表されるから、

　2iα－iβ＝k(－2α－β), 2(k＋i)α＝(－k＋i)β

　絶対値をとって、2|k＋i||α|＝|－k＋i||β|, 2|α|＝|β|

　４つの正方形の１辺は、|α|, |β|, |α－β|, |iβ＋iα|＝|α＋β|

　面積の合計は、

　|α|²＋|β|²＋|α－β|²＋|α＋β|²＝3|α|²＋3|β|²＝15|α|²。

　15|α|²＝90cm² より、|α|²＝6cm² です。



[解答2]

　下図のように、正方形の辺を a,b,c,d とします。

　そして、４つの三角形に着目し、それを合わせると、

　直角三角形ができて、b＝2a になります。

　また、パップスの中線定理より、c²＋d²＝2(a²＋b²)。

　よって、a²＋b²＋c²＋d²＝3(a²＋b²)＝3(a²＋4a²)＝15a² 。

　15a²＝90cm² より、a²＝6cm² です。

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