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[答37] 4つの正方形

ヤドカリ

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[答37] 4つの正方形


 図のように4つの正方形があり、

 紫・赤・青の正方形の頂点1つずつが1直線上に並んでいます。

 4つの正方形の面積の合計が 90cm2 のとき、赤の正方形の面積は?


[解答1]

 中図のように、複素平面を利用します。

 点を表す複素数を赤字のように0,α,β,γ,δとします。

 90゚の回転は×i,-90゚の回転は×(-i) で表されるから、

 緑字のように、-iα,α-iα,iβが決まります。

 γ-α=-i(β-α)=iα-iβ, δ+iα=i(iβ+iα)=-α-β

 γ-α+iα=2iα-iβ, δ-α+iα=-2α-β

 実数kを使って、γ-α+iα=k(δ-α+iα) と表されるから、

 2iα-iβ=k(-2α-β), 2(k+i)α=(-k+i)β

 絶対値をとって、2|k+i||α|=|-k+i||β|, 2|α|=|β|

 4つの正方形の1辺は、|α|, |β|, |α-β|, |iβ+iα|=|α+β|

 面積の合計は、

 |α|2+|β|2+|α-β|2+|α+β|2=3|α|2+3|β|2=15|α|2

 15|α|2=90cm2 より、|α|2=6cm2 です。



[解答2]

 下図のように、正方形の辺を a,b,c,d とします。

 そして、4つの三角形に着目し、それを合わせると、

 直角三角形ができて、b=2a になります。

 また、パップスの中線定理より、c2+d2=2(a2+b2)。

 よって、a2+b2+c2+d2=3(a2+b2)=3(a2+4a2)=15a2

 15a2=90cm2 より、a2=6cm2 です。

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Comments 8

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スモークマン  
No title

おおっ!!
ファンタスチック♪
パップスの定理を思いつくのは無理だったかも知れませんが...
そっか...見事な発想ですね ^^v

uch*n*an  
No title

なるほど!言われてみれば明らかですね。参った...

再出発  
No title

あ~。
美しい。
他の問題が手につかず、4枚の座布団が宙を舞い・・・
赤座布団の右と左の頂点を通る鉛直線を引くと
すぐ上の三角形の面積を二等分してませんか!?

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、緑の1辺が赤の1辺の2倍だと分かっていたら解けましたね。
もう少しのところでした。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、私も上記のように複素平面を考えました。
複素数でなるべく簡単にという思いで何度も図を描いているうちに
三角形の方に注目できるようになりました。

ヤドカリ  
No title

再出発さん、貴殿のおっしゃることは成り立ちます。
直角三角形に並べ替えた方で、bの中点と薄緑や水色の三角形の向かい合う頂点を結ぶと中点連結定理で明らかになります。

再出発  
No title

確かに。
--
先ほど別件で、すごく落ち込みました。
昨日は職場で転んじゃうし・・・
最近、不調。

ヤドカリ  
No title

再出発さんへ^^
かわいい子孫の不幸・不運を、ご先祖様は望みません。
墓参りをされたら如何ですか?