[答37] 4つの正方形
[答37] 4つの正方形
図のように4つの正方形があり、
紫・赤・青の正方形の頂点1つずつが1直線上に並んでいます。
4つの正方形の面積の合計が 90cm2 のとき、赤の正方形の面積は?
[解答1]
中図のように、複素平面を利用します。
点を表す複素数を赤字のように0,α,β,γ,δとします。
90゚の回転は×i,-90゚の回転は×(-i) で表されるから、
緑字のように、-iα,α-iα,iβが決まります。
γ-α=-i(β-α)=iα-iβ, δ+iα=i(iβ+iα)=-α-β
γ-α+iα=2iα-iβ, δ-α+iα=-2α-β
実数kを使って、γ-α+iα=k(δ-α+iα) と表されるから、
2iα-iβ=k(-2α-β), 2(k+i)α=(-k+i)β
絶対値をとって、2|k+i||α|=|-k+i||β|, 2|α|=|β|
4つの正方形の1辺は、|α|, |β|, |α-β|, |iβ+iα|=|α+β|
面積の合計は、
|α|2+|β|2+|α-β|2+|α+β|2=3|α|2+3|β|2=15|α|2。
15|α|2=90cm2 より、|α|2=6cm2 です。
[解答2]
下図のように、正方形の辺を a,b,c,d とします。
そして、4つの三角形に着目し、それを合わせると、
直角三角形ができて、b=2a になります。
また、パップスの中線定理より、c2+d2=2(a2+b2)。
よって、a2+b2+c2+d2=3(a2+b2)=3(a2+4a2)=15a2 。
15a2=90cm2 より、a2=6cm2 です。
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