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[答374] 五角形の残りの辺の長さ

ヤドカリ

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[答374] 五角形の残りの辺の長さ


 円に内接する五角形ABCDEがあり、AB=AE=1,BC=ED=3/4,BD=7/4 です。

 このとき、残りの辺 CD の長さは?


[解答1]

 ∠ABD=θ とすれば、∠AED=180゚-θ で、△ABD と △AED で、余弦定理より、

 AD2=12+(7/4)2-2・1・(7/4)cosθ=12+(3/4)2-2・1・(3/4)cos(180゚-θ) 、

 AD2=65/16-(7/2)cosθ=25/16+(3/2)cosθ 、cosθ=1/2 、θ=60゚ ,AD=(√37)/4 になります。

 ∠ABD=60゚ 、対称性より ∠ABC=∠AED=120゚ となり、∠CBD=60゚ 、∠CAD=60゚ 、

 対称性より AC=AD だから、△ACD は正三角形になります。

 よって、CD=AD=(√37)/4 になります。


[解答2]

 四角形ABCDでトレミーの定理より、AB・CD+BC・AD=BD・AC 、CD+(3/4)AD=(7/4)AC 、

 AC=AD だから、△ACD は正三角形になります。

 よって、∠CBD=∠CAD=60゚ となって、△BCD で余弦定理により、

 CD2=(3/4)2+(7/4)2-2(3/4)(7/4)cos60゚=37/16 、CD=(√37)/4 になります。

 四角形ABCD が円に内接するので、∠ABD=120゚ となって、△ABC で余弦定理により、

 AC2=12+(3/4)2-2・1・(3/4)cos120゚=37/16 としても解けます。
 

[解答3]

 劣弧AD上に AD=3/4(FD=1)となる点Fをとります。

 四角形ABDFは等脚台形になりますので、AD=BF です。

 トレミーの定理より、AF・BD+AB・FD=AD・BF 、21/16+1=AD2 、AD=(√37)/4 、

 次に、四角形ABCDでトレミーの定理より、AB・CD+BC・AD=BD・AC 、CD+(3/4)AD=(7/4)AC 、

 AC=AD だから、CD=AD=(√37)/4 になります。

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Comments 20

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
気持ちよく咲いていますね♪
アングルに気をつけるといい写真になりますね(o^-^o)ポチ♪

uch*n*an  
No title

これはいろいろと考えられる楽しい問題でした。
実際,私の解法も三つですが,敢えて三角関数は使わず初等幾何にこだわってみたこともあり,
いずれも[解答]と違います。
(解法1)は,トレミーの定理で押し通した解法で,[解答3]にかなり近い解法です。
(解法2)は,逆にトレミーの定理を使わない解法です。ご参考までに書いておきますね。
(解法3)は,実は最初に思い付いた解法で,[解答3]の F を取り,さらに,弧CD 上に G を
辺の長さが 1,3/4,1,3/4,1,3/4 となる六角形ができるように取る解法です。
ただし,G が本当に取れることの証明は若干手間がかかります。
算数的で直感的で図的には明らかっぽく個人的には好きな解法ですが,
どのみち CD は算数では求まらないので,手間をかけるのがもったいなく,残念です。

uch*n*an  
No title

(解法2)
弧AE 上に AE' = ED = 3/4 となる点 E' を取り,BA,DE' の延長の交点を P とします。
すると,△E'AD ≡ △EDA,□ABDE' は等脚台形,△PAE' は二等辺三角形,△PAE' ∽ △PBD,
PA = PE' = 3/4 = AE',△PAE' は正三角形,∠PAE' = ∠PE'A = 60°,∠AED = ∠AE'D = 120°
∠ACD = 180°- ∠AED = 180°- 120°= 60°,対称性より △ACD は正三角形,CD = AD,
になります。ここで,A から DE の延長に垂線を下ろしその足を H とすると,
∠AEH = 60°,AH = √3/2,DH = DE + EH = 3/4 + 1/2 = 5/4,
CD = AD = √(AH^2 + DH^2) = √((√3/2)^2 + (5/4)^2) = √(37/16) = √37/4
になります。

ニリンソウ  
No title

ヒイラギナンテンこれから~もうすぐ咲きそうですね
黄色い花が可愛いです
ポチ

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
トレミーの定理のありがたさを痛感する問題でした♪
正三角形になったのはたまたまなんですよね ?
解法3は巧い方法なのに...なかなか気づけません...^^;...

ひとりしずか  
No title

オイワケナンテンっていうんですね~
これだけ長い花枝がみんな上に伸びてて~
上をむういてあ~るこうぉぉぉって気分~(笑)ポチ☆

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難うございます。
等脚台形を作るのは何度も出てきました。
いろんな解法がある問題は楽しいのですが、解答を作るのは厄介です。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難うございます。
私は単にヒイラギナンテンと覚えておりました。
上を向いてパッと開いているようで、面白いです。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難うございます。
私は単にヒイラギナンテンと覚えておりましたので、
西洋柊南天というのは知りませんでした。。
黄色で包まれるような感じです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難うございます。
遠くから戻られての早速の沢山のコメント、恐縮です。
ヒイラギナンテン、どんどん黄色が濃くなっていきます。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと解答を有難うございます。
いろんな解法があり、まとめきれませんでした。
正三角形を上手く使えばいいのですが、CDは結局√がつくので、
算数では限界がありますね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難うございます。
春に向かって黄色の花に暖かさを感じます。
一度出会うと、この時期に必要な花になってしまいます。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難うございます。
使える機会を見逃していただけでしょうが、
トレミーの定理は高校時代に使った覚えがないのですが、
なかなか便利な定理ですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難うございます。
上に向かって伸びる黄色の花が目立ちます。
写真は1つだけですが、このような塊が数個あって目立ちました。

こっこちゃん  
No title

こんばんは

ヒイラギナンテン 散歩でよくみます~

可愛い花を咲かせてくれますよね” ポチ

いっちゃん  
No title

こんばんは。
わたしもヒイラギナンテンとして覚えていました^^
我が家にもあったんですよ。でもこれは見事な咲き方ですね。。。ポチ

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
有名な方法ですが...^^
右の図で...正三角形ACDは外側にできる正三角形の面積を
(2+(3/4))^2=(11/4)^2 とすると...
それから...1*(1+3/4)*3=21/4 を引いたものなので...
(11/4)^2-(21/4)=(121-84)/16=37/16=(√37/4)^2=CD^2
とわかりますね♪
まぁ...正三角形を求めるときトレミーの定理を使ったのならそのままトレミーだけで出す方がスマートなわけですけどね...^^;...Orz...

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難うございます。
散歩中に見られるなんて素敵ですね。
黄色の花には元気を貰えます。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難うございます。
家にこの花が咲いていて毎日見ておられたのですか。
この花は緑化センターで見ました。手入れが行き届いています。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
確かにそういう方法もありますね。
いろいろと工夫出来る問題です。