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[答375] tanに関する最小値

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答375] tanに関する最小値


 0゚<α<90゚,0゚<β<90゚,tanαtanβ=3/5 のとき、tan(α+β)+tan(α-β) の最小値は?


[解答1]

 tan(α+β)+tan(α-β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)+(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

  =(5/2)(tanα+tanβ)+(5/8)(tanα-tanβ)=(5/8)(5tanα+3tanβ)

 ここで、相加・相乗平均の関係により、5tanα+3tanβ≧2√(5tanα・3tanβ)=2√9=6 、

 よって、tan(α+β)+tan(α-β)≧(5/8)・6=15/4 、最小値は 15/4 です。

 このとき、tanα=3/5 ,tanβ=1 です。


[解答2]

 tan(α+β)+tan(α-β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)+(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

  =(5/2)(tanα+tanβ)+(5/8)(tanα-tanβ)=5(5tanα+3tanβ)/8

  =5{5・3/(5tanβ)+3tanβ}/8=15(1/tanβ+tanβ)/8

  =15(cos2β+sin2β)/(8sinβcosβ)=15/(4sin2β)

 ここで、0゚<2β<180゚により、0<sin2β≦1 だから、sin2β=1 のとき、最小値は 15/4 です。

 このとき、β=45゚ ,tanβ=1 ,tanα=3/5 です。


[参考]

 一般に、 tanαtanβ=a(一定) のとき、

 tan(α+β)+tan(α-β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)+(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)

  =(tanα+tanβ)/(1-a)+(tanα-tanβ)/(1+a)

  =(tanαtanβ+tan2β)/{(1-a)tanβ}+(tanαtanβ-tan2β)/{(1+a)tanβ}

  =(a+tan2β)/{(1-a)tanβ}+(a-tan2β)/{(1+a)tanβ}

  ={(1+a)(a+tan2β)+(1-a)(a-tan2β)}/{(1-a)(1+a)tanβ}

  =2a(1+tan2β)/{(1-a)(1+a)tanβ}

  =2a/{(1-a)(1+a)tanβcos2β}

  =4a/{(1-a)(1+a)・2sinβcosβ}=4a/{(1-a)(1+a)sin2β}

 よって、sin2β=1 すなわち tanβ=1 のとき、

 a<-1,0<a<1 のとき 最小値 4a/{(1-a)(1+a)} 、

 -1<a<0,1<a のとき 最大値 4a/{(1-a)(1+a)} です。

 このとき、tanα=a ,4a/(1-a2)=2tan2α です。

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Comments 16

There are no comments yet.
黒翼  
No title

この問題は比較的やさしく,基礎事項を確認できる問題だったように思います.

tanの加法定理は日頃使いませんし,相加相乗平均は日頃から使って感覚を磨いておくといい気がします.

計算は煩雑ながら,解答2の式変形も興味深いですね.

ポチ☆入れておきます.

ひとりしずか  
No title

キンギョソウ温室ですか?
ひらひらっと楽しそう・・・ポチ☆
薄い色合いが春を思わせます~
今朝窓の外は白銀の世界です

古い人  
No title

此花も元は地中海沿岸の植物で毎年花が咲く多年草ですね。

日本では一年草の扱いですが気候の成果もね。
花の色も可なり種類がありますね。
可愛い色ですね。 ポチ。

アキチャン  
No title

おはようございます。
温かいのでしょうか、、キンギョソウが・・(o^-^o)
ポチ♪

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
金魚草がとても綺麗ですね
この花を見ていると寒さも忘れてしまいます
寒い中是から頑張ってくれる金魚草に ポチ

uch*n*an  
No title

この問題は,ある意味,計算だけでした。
私の解法は[解答1]と同じです。判別式やグラフによる考察も可能ですね。
[解答2]は,確かに,[解答1]よりも煩雑ですが,[参考]にも通じる解法のようです。
また,[参考]は,a < 0 も一括して議論できる点がメリットということなのかな。
もっとも,a < 0 は,例えば,0°< β < 90°< α < 180°,図形的には鈍角三角形の内角,
とかの条件が必要そうですが。

こっこちゃん  
No title

キンギョソウ 可愛い花ですよね”

まだ咲いてるのですね” ポチ

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私の出題する三角関数の問題はほとんど公式を思い出すためのものです。
そういった意味で純粋な解答は[解答2]ですね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
温室ではありません。
そちらほどではありませんが、こちらもけっこう寒いです。
寒さに耐えて咲いています。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
もと、地中海沿岸の植物ですか。
そう言われると、何か温暖な雰囲気をかもしだす花ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
暖かくはないのですが、寒さの中、咲いてくれています。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
見た目が暖かな感じのする花ですね。
淡い黄色が暖かさを演出してくれているのでしょう。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私は純粋に三角関数の計算問題として作りましたので、
図形的意味は考えていませんでした。
なお、tanα か tanβ をxとでもおいて微分すれば、何とでもなるのですが、
流石にその解答は書く気になれませんでした。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
まだ咲いています。
そのまま頑張って春を迎えてほしいです。

いっちゃん  
No title

可愛い花ですね。寒いのに頑張っていますね。
ど根性金魚草と呼びましょうか。。♪
実はTVで紹介されてまして、佐世保でこぼれ種からひまわりの花が咲いていてびっくりしました。こんなに寒いのに
大きく咲いていました。冬の太陽は暖かいでしょうね。
そのひまわりに付けられた名前が「ど根性ひまわり」と
云うのです。。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
「ど根性ひまわり」は知りませんでしたが、見習いたいものですね。