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[答376] 5の倍数を除く積

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答376] 5の倍数を除く積


 5の倍数を除く1000以下のすべての自然数800個の積の下3桁は?


[解答1]

 aを0以上の整数として、10a ~ 10a+9 の、5の倍数以外の8個の数の積をAとすれば、

 A=(10a+1)(10a+2)(10a+3)(10a+4)(10a+6)(10a+7)(10a+8)(10a+9)

  =(10a+1)(10a+9)(10a+2)(10a+8)(10a+3)(10a+7)(10a+4)(10a+6)

 ここで、100a2+100a=b とおくと、

 A=(b+9)(b+16)(b+21)(b+24)=b4+70b3+1773b2+19080b+72576 で、

 bは 100の倍数だから、Aの下3桁はaの値に関わらず 576 になります。

 従って、 576100 の下3桁を求めればよいことになります。

 次に、cを自然数として、

 576(100c+76)=57600c+43776=1000(57c+43)+100(6c+7)+76 だから、

 nが自然数のとき、 576n の下2桁は必ず 76 で、

 百の位は、c=5 から初めて、6c+7 の下1桁を次々に求めると、

 5 → 7 → 9 → 1 → 3 → 5 → …… と変化し、100番目は 3 です。

 576100 の下3桁は 376 になります。

☆ 簡便算( https://okayadokary.blog.fc2.com/blog-entry-17.html )からの発想で作問しました。


[解答2]

 aを0以上の整数として、5a ~ 5a+4 の、5の倍数以外の4個の数の積をDとすれば、

 D=(5a+1)(5a+2)(5a+3)(5a+4)=(5a+1)(5a+4)(5a+2)(5a+3)

  =(25a2+25a+4)(25a2+25a+6)=(25a2+25a)(25a2+25a+10)+24

  =125a(a+1)(5a2+5a+2)+24=125a(a+1){(a+2)(a+3)+4(a+1)(a-1)}+24

  =1000{a(a+1)(a+2)(a+3)/8+a(a+1)2(a-1)/2}+24

 ここで、a(a+1)(a+2)(a+3) は 4!=24 の倍数、a(a+1) は 2!=2 の倍数だから、

 Dの下3桁はaの値に関わらず 024 になります。

 従って、 24200=576100 の下3桁を求めればよいことになります。

 以下、[解答1]と同じです。

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Comments 20

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黒翼  
No title

なるほど,僕のはほとんど解法2ですが,ヤドカリさんとは最後のまとめ方が少し違うようです.参考になります.

なお,(a+1)^2のところ,タグが</SUPで止まってしまっていますね.後の部分が上付きになっています.

ポチ☆入れさせていただきます.

アキチャン  
No title

おはようございます。
ディージーでしょうか、、早いですね(o^-^o)
ポチ♪

ひとりしずか  
No title

デージーもう咲いているんですか?
陽射し受けた赤い色がいきいき見えます~ポチ☆

いっちゃん  
No title

おはようございます。デージー?白は大好きな色ですが、赤も可愛いですね。
「Day's eys(太陽の目)」が転訛した名前だと聞いたことがありますがまさしく、太陽のような感じですね。。
緑化センターの温室ですか?いろんな花が咲いているのですね。ポチ

ニリンソウ  
No title

大地から花が緑が見れるのはまだ遠いです!
輝く春を待っているのは花も人も一緒ですね。

ポチ

uch*n*an  
No title

この問題は,プログラムを組めば終わりなのでつまらない,といえる反面,
式による計算の工夫には興味深いものもある,といった感じで,個人的には微妙な問題でした。
私の解法は二つ。
(解法1)は,[解答]のいずれよりも少し計算量が多いのが難点ですが,
個人的にはまぁまぁかな,と思うので,ご参考までに示しておきますね。
(解法2)は,[解答1]とほぼ同じでした。
[解答2]は気付きませんでした。なるぼど,といった感じです。

uch*n*an  
No title

(解法1)
a を 5 の倍数ではない 1 ~ 99 とすると,これは 80 個で,k を 1,3,5,7,9 として,
(100k - a)(100k + a) = 10000k^2 - a^2 なので,求める積 P は,mod 1000 で,
P ≡ (1^2 * 2^2 * … * 98^2 * 99^2)^5 ≡ (1 * 2 * … * 98 * 99)^10
さらに,a を 5 ではない 1 ~ 9 とすると,これは 8 個で,k を 1,3,5,7,9 として,
(10k - a)(10k + a) = 100k^2 - a^2 なので,次の「1^2 ~ 9^2 の積」では 5^2 は除いて,
P ≡ ((- 100(1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2)(1^2 ~ 9^2 から一つずつ除いた積の和)
+ (1^2 ~ 9^2 の積))(1^2 ~ 9^2 の積)^4)^10

uch*n*an  
No title

1 * 2 * 3 * 4 * 6 * 7 * 8 * 9 = 72576,76 = 100 - 24,24 = 20 + 4,2^10 = 1024,
などに注意して,
≡ ((- 500(576^2 + 288^2 + 192^2 + 144^2 + 96^2 + 368^2 + 72^2 + 64^2)
+ 576^2)(576^2)^4)^10
≡ ((- 500(6 + 4 + 4 + 6 + 6 + 4 + 4 + 6) + 76^2)(76^2)^4)^10
≡ ((0 + 776)(776)^4)^10 ≡ 776^50 ≡ 76^50 ≡ 24^50 ≡ 4^50 ≡ 2^100 ≡ 24^10
≡ 200 * 4^9 + 4^10 ≡ 800 + 2^20 ≡ 800 + 24^2 ≡ 800 + 576 ≡ 376
そこで,376 になります。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

デージーのお花ですか?
寒くてもお花の咲ける気候っていいな~って思います。
これからどんどんいろいろなお花が咲いて
3月の末には桜が咲くのでしょうね。
ポチッ☆
お見舞いをありがとうございました。

古い人  
No title

私はこの花はドナルドタックのデイジイで覚えた記憶があります。

此花も花弁の細かな花ですね。ポチ。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。

同じような式変形もいろいろな書き方があると思いますが、
気に入ったら自分のものにすればいいですね。

タグについての指摘を有難う御座いました。
<SUP>2</SUP> をコピペしたときに飛んでしまったようです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
デージーも植物園の花壇にしっかり咲いていました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
もう咲いていますょ。
太陽の光をはね返していて輝いていました。

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
このデージーは温室でなく、長居植物園の花壇に咲いていました。
「Day's eyes」ですか。デージーが「日の目」を見たようです。
明日は白の写真を使う予定です。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
気象情報では寒気が強くて日本海側は大雪のようですね。
雪の下の地中で多くの植物が春の準備をしているのでしょう。

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
デージーは結構寒さにも強いのですネ
真っ赤な色がとても素敵ですネ
元気を貰えます ポチ

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと解答を有難う御座います。
貴殿以外で解法を書いてくれた方は、8個ずつ・4個ずつのいずれかで積をとっていました。
作問のきっかけは、[解答1]の下に追記したように、簡便算です。
なお、UBASIC では プログラムを組む必要もなく、ダイレクトで
print !(1000)/!(200)/5^200
で答が出て来ます。

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
お怪我は大丈夫ですか。無理なさらないで下さいね。
私にとっては北海道の雄大な自然の方に憧れをもちますが、
デージーが咲くような気温だから呑気に憧れているだけですよね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントとポチを有難う御座います。
キク科の植物は花弁が細やかですが、デージーは特にそうですね。
ところで、ドナルドダックは何か関係があるのでしょうか?

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとポチを有難う御座います。
デージーは割に寒さにも強いようですね。
長い間咲くのもいいです。
小学生の頃、パンジーとデージーを学校で植えたのを覚えています。