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[答379] 分数を小数で表すと

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答379] 分数を小数で表すと


 2/73=0.02739726…… のように、分子が1桁,分母が2桁の自然数である分数で、

 小数に直すと 0.0 の後に分子分母が続く、2/73 以外の分数は?


[解答]

 2/73=0.02739726…… の両辺に 10000 を掛けると、20000/73=273.9726…… になります。

 もとの分数の分子を m ,分母を n ,10000m÷n の余りを r とすれば、

 10000m/n=100m+n+r/n 、10000m=n(100m+n)+r になります。

 ここで、0≦r<n だから、n(100m+n)≦10000m<n(100m+n)+n です。

 n(n+100m)≦10000m<n(n+1+100m) を m=1,2,……,9 として解きます。

 ここで、n(n+100m)≦10000m<n(n+1+100m)<(n+1)(n+1+100m) だから、

 n は、n(n+100m)≦10000m を満たす最大の自然数で、n(n+1+100m)>10000m を満たすものです。

 n(n+100m)≦10000m より、(n+50m)2≦2500m2+10000m 、n≦50{-m+√m(m+4)} だから、

 n=[ 50{-m+√m(m+4)} ] ,n(n+1+100m)>10000m です。

 m=1 のとき、n=61 、61・162=9882<10000 で、条件を満たす自然数 n は存在しません。

 m=2 のとき、n=73 、73・274=20002>20000 で、条件を満たします。

 m=3 のとき、n=79 、79・380=30020>30000 で、条件を満たします。

 m=4 のとき、n=82 、82・483=39606<40000 で、条件を満たす自然数 n は存在しません。

 m=5 のとき、n=85 、85・586=49810<50000 で、条件を満たす自然数 n は存在しません。

 m=6 のとき、n=87 、87・688=59856<60000 で、条件を満たす自然数 n は存在しません。

 m=7 のとき、n=88 、88・789=69432<70000 で、条件を満たす自然数 n は存在しません。

 m=8 のとき、n=89 、89・890=79210<80000 で、条件を満たす自然数 n は存在しません。

 m=9 のとき、n=90 、90・991=89190<90000 で、条件を満たす自然数 n は存在しません。

 結局、条件を満たすのは、(m,n)=(2,73),(3,79) だけです。

 従って、答は 3/79 になります。

☆ 3/79=0.0379746835…… です。


[参考] saraoさんのコメントより

 2桁/3桁 で同様の性質をもつのは次の3つです。

  13/933=0.013933547695605573……

  75/987=0.075987841945288753……

  89/989=0.089989888776541961……

 3桁/4桁 で同様の性質をもつのは 135/9927=0.01359927470534904…… だけです。

 3桁/3桁 で同様の性質をもつのは 141/993=0.141993957703927492…… だけです。

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Comments 20

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uch*n*an  
No title

もしくは,a の不等式と思って解くと,
n^2/100(100 - n) <= a < (n^2 + n)/100(100 - n)
不等号の両端は微分などして調べると,今考えている n の範囲では単調増加で,62 <= n です。
後は,a = 1 ~ 9 の辺りを n を代入して調べると,(a,n) = (2,73) 又は (3,79) になります。
(ここは,n に具体的な値を適当に選んで代入して調べます。(解法1)と同じような感じですが,
計算が若干面倒な反面,整数部分だけを調べればいいので,その意味では少し楽です。)
結局,題意の条件を満たすのは 2/73 と 3/79 だけなので,2/73 以外は 3/79 になります。

こっこちゃん  
No title

こんにちは

仏の手 先日温室で 見ましたよ”

沢山ついてると 奇妙な 感じでした。 ポチ

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私も答案作成には迷いましたが、なるべく小数を使わず、不等式を使いました。
誤差を伴う小数を避けたい気持ちが常に働いているからです。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、仏手柑です。不思議な形ですね。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仏手柑です。花の文化園の温室で見ました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私が見たのはこれ1つだけですので、「いろんな形」を見られませんでしたが、
こんなに複雑ですべて同じ形だったら奇妙ですよね。

ヤドカリ  
No title

saraoさん、早速のコメントを有難う御座います。
2桁/3桁 には 75/987 もありました。
興味を持って下さって嬉しいです。本文にも加えました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
植物園の温室で見ました。食用にはしないそうです。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと詳しい解答を有難う御座います。
この問題は数字のお遊びとして出題しました。
私自身、スカッとした解答を書けませんでしたが、
誰かが計算の少ない旨い方法で解いてくれることを期待していました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
私は沢山ついているのを見たことがありません。
不思議な形ですよね。

ひとりしずか  
No title

ピーマンの長くなったみたいな・・・
変わった形してますよ~
名前も意味ありげ・・・ポチ☆

黒翼  
No title

いろいろ考える限り,この問題は,電卓にしても手計算にしても,uch*n*anさんの示している,単調性に着目して計算する方法が一番簡単なのかもしれません.

実際僕もはじめは不等式で考えていましたが,複雑な計算から脱する方法を見つけることができず,単調減少する性質を利用して,探しました.

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
仏様の手み見立てての命名です。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
このような数字のお遊びのような問題は一般に解くのが面倒です。
その中で手計算でも出せるものはなかなかありません。
そういう意味では珍しい問題です。

黒翼  
No title

そうですね.解くのは確かに面倒です.

ただ,どのあたりの計算をすればいいというのは見当がつきやすいので,a=1~9までで20~30個の計算をすれば大体よさそうですね.

手計算で解く場合は単純作業が続くので途中で疲れそうですが,それでも決して不可能ではないですよね.

たしかに,手計算で出せるこの問題は珍しいと言えそうですね.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
[参考]はプログラムを組んで確かめましたが、
これを手計算でというと、最初から解く気がおこりません。
プラグラムなしで解けそうな問題となると限られます。

黒翼  
No title

確かに手計算で解く気になるのは,1桁/2桁までですね.
分子が2桁になるだけで候補数がはね上がりますから,その分計算が多くなります.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、何度もコメントを有難う御座いました。

いっちゃん  
No title

仏手柑っていうのですか?
はじめて観ました。。なるほど仏さまの手なんですね。
ありがたい果物ですね。
あ!食べれないのですね。。感謝しながら眺めることに
しましょうか^^
珍しいものをありがとうございます。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
食用にすることもあるそうなんですが、有難い柑橘ですね。