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[答381] 正十角形と二等辺三角形

ヤドカリ

ヤドカリ



[答381] 正十角形と二等辺三角形


 面積が1の正十角形の対角線を1本引いて二等辺三角形をつくるとき、この二等辺三角形の面積は?


[解答1]

 外接円の半径をRとすれば、正十角形は 等辺がRで中心角が π/5 の二等辺三角形10個分で、

 求める二等辺三角形は 等辺がRで中心角が π/5 の二等辺三角形2個分から、

 等辺がRで中心角が 2π/5 の二等辺三角形1個分を除いたものです。

 従って、

 {2・(1/2)R2sin(π/5)-(1/2)R2sin(2π/5)}/{10・(1/2)R2sin(π/5)}

  ={2sin(π/5)-sin(2π/5)}/{10sin(π/5)}={2sin(π/5)-2sin(π/5)cos(π/5)}/{10sin(π/5)}

  ={1-cos(π/5)}/5={1-(1+√5)/4}/5=(3-√5)/20 になります。


[解答2]

 各辺の中点を結んで正十角形を作ると、中心から頂点の距離を比較することにより、

 相似比は、1:cos(π/10) だから、面積比は、1:cos2(π/10) になります。

 従って、内側の正十角形の面積は、cos2(π/10) 、

 もとの正十角形と内側の正十角形に挟まれた二等辺三角形 10個の面積の和は、

 1-cos2(π/10)=sin2(π/10)={1-cos(π/5)}/2 、

 求める二等辺三角形の面積は、この 4/10=2/5 倍だから、

 {1-cos(π/5)}/5={1-(1+√5)/4}/5=(3-√5)/20 になります。


☆ 正n角形なら、(2/n){1-cos(2π/n)} になります。

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Comments 19

There are no comments yet.
古い人  
No title

プリムラも色々の色がありますね。

色の濃淡が又何とも綺麗です。
ポチ。

黒翼  
No title

感服いたしました.

僕はかなり遠回りしていたので,この解法には感動しました.
次にこのような問題が出題された時には,工夫できればいいかなと思います.

ポチ☆入れておきますね.

アキチャン  
No title

おはようございます。
これからパンジーも楽しみですが、プリムラもそれとよく似た色合いが多いですネ(o^-^o)
ポチ♪

こっこちゃん  
No title

おはようございます

プリムラは カラフルな色で
楽しませて くれますよね 好きな花の一つです~ ポチ

ひとりしずか  
No title

色々な色で沢山咲いてると気持ちも華やぎます。~ポチ☆

uch*n*an  
No title

この問題は,いろいろな解法が考えられる問題でした。
実際,私の解法は三つですが,どれも少しずつ[解答]と違います。
(解法1)は,単純に,正十角形の一辺 2R * sin(18°) と 1/2 * R^2 * sin(36°) * 10 = 1 とを
使う解法です。強いて言えば,若干,[解答1]に近いのかな。
(解法2)は,
面積を求める二等辺三角形を半分にして並べ替えると,頂角 36°の二等辺三角形となり,
正十角形の中心と一辺の両端を結んだ二等辺三角形と相似比 (2 * sin(18°)):1 の相似になる,
ことを利用した解法です。これは,[解答2]と似た解法です。
(解法3)は,[347]のやどかりさんの[解答2]の右下図を利用するズルイ解法です。

uch*n*an  
No title

風邪を引いて早一週間。熱は36度台に収まりましたが,咳,鼻水,倦怠感は相変わらずです。
ぶり返さないように注意しないと。インフルエンザも流行っているようですし,気を付けないと。
皆さんもお気を付けください。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
プリムラは本当にいろんな色がありますね。
どぎついピンクでないので、気持ちが安らぎます。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
問題を解くときどんな解法が一番楽に解けるかを考えるのも面白いものです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
パンジーもいろんな色がありますね。プリムラと違って柄が面白いです。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
カラフルに見えるのに葉の緑も一役買っていますよね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
花の少ない季節ですので余計に華やいで見えるのでしょう。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
確かにこの問題はいろいろな解法が考えられる問題でした。
表現の仕方も考えれば、同じ答案が出ない気がします。

ところで、私もずっと風邪気味で、日曜日の夜には 39度近くに達しました。
翌日は仕事を休もうと思って寝たのですが、朝には熱が下がっていて出勤し、
そのまま今日に至っています。
お互い、気をつけないといけませんね。

ニリンソウ  
No title

風邪ですか~いつまでも厳しい寒さで参ってしまいます
お大事に!
モノクロの世界には可愛い花みると嬉しくなりますね
食料買い出しでも必ず寄るのが花コーナー
いつも撮るだけ~(笑)
ポチ

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
雪国は大変ですね。大雪にご注意ください。

いっちゃん  
No title

こんばんは^^
いろんな色のプリムラ拝見させていただきました。
わたしの好きな色は淡い紫だったのがいいです。
今日のも華やかでいいですね。。

また風邪ですか?インフルエンザが猛威をふるっています。お大事に。。ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
プリムラもいろんないろがあって、目を愉しませてくれます。
今日のはいっちゃんの名前アイコンのような色ですね。

さっちゃんこ  
No title

オブコニカ
綺麗なピンクの色に元気を貰いました ポチ

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとポチを有難う御座います。
同じ花でもピンクは目立ちました。元気色ですね。