[答382] 条件文を満たす定数
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[答382] 条件文を満たす定数
x,y,z を実数として、条件文「x2+y2+z2≦k ならば 11x+10y+5z+3≧0」が真であるような
実定数 k の範囲は?
[解答]
k<0 のとき、x2+y2+z2≦k を満たす実数の組(x,y,z)が存在しないので真です。
k=0 のとき、x2+y2+z2≦k を満たすとき x=0,y=0,z=0 で真です。
k>0 のとき、領域 x2+y2+z2≦k が 11x+10y+5z+3≧0 に含まれればいいので、
球の中心(0,0,0)と平面 11x+10y+5z+3=0 の距離が半径 √k 以上であることと同値です。
従って、|3|/√(112+102+52)≧√k 、9/246≧k 、3/82≧k です。
よって、k の範囲は k≦3/82 になります。
[参考] 条件文の真偽について
「p ならば q」が真であるというのは、p を満たすが q を満たさない例(反例)が存在しないことです。
本問について、k<0 のとき、奇異に感じられるかもしれませんが、
条件文「x2+y2+z2≦k ならば 11x+10y+5z+3≧0」が真というのは、
「x2+y2+z2≦k かつ 11x+10y+5z+3<0」を満たす(x,y,z)が存在しないということです。
集合 {(x,y,z)|x2+y2+z2≦k}=φ ですので、当然成り立ちます。
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