FC2ブログ

Welcome to my blog

[答382] 条件文を満たす定数

ヤドカリ

ヤドカリ


'


[答382] 条件文を満たす定数


 x,y,z を実数として、条件文「x2+y2+z2≦k ならば 11x+10y+5z+3≧0」が真であるような

 実定数 k の範囲は?


[解答]

 k<0 のとき、x2+y2+z2≦k を満たす実数の組(x,y,z)が存在しないので真です。

 k=0 のとき、x2+y2+z2≦k を満たすとき x=0,y=0,z=0 で真です。

 k>0 のとき、領域 x2+y2+z2≦k が 11x+10y+5z+3≧0 に含まれればいいので、

 球の中心(0,0,0)と平面 11x+10y+5z+3=0 の距離が半径 √k 以上であることと同値です。

 従って、|3|/√(112+102+52)≧√k 、9/246≧k 、3/82≧k です。

 よって、k の範囲は k≦3/82 になります。


[参考] 条件文の真偽について

 「p ならば q」が真であるというのは、p を満たすが q を満たさない例(反例)が存在しないことです。

 本問について、k<0 のとき、奇異に感じられるかもしれませんが、

 条件文「x2+y2+z2≦k ならば 11x+10y+5z+3≧0」が真というのは、

 「x2+y2+z2≦k かつ 11x+10y+5z+3<0」を満たす(x,y,z)が存在しないということです。

 集合 {(x,y,z)|x2+y2+z2≦k}=φ ですので、当然成り立ちます。

.

スポンサーサイト



Comments 20

There are no comments yet.
ヤドカリ  
No title

いっちゃん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
「春を詰め込んだ蕾」なんて、詩的で素敵な表現ですね。
詰め込まれた春が、パッとはじけて出てくればいいですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。

(1) k≦3/82 でいいと思います。

(2)(3)(4)(6) 「のとき」の表現が曖昧で、
「ならば」の意味で「のとき」を使う場合と、
場合分けでよく使われるように、
具体例がある場合に限って「のとき」を使う場合があるので、
論理の問題として成立するのかどうか、私には分かりません。
私の不勉強かもしれませんが、
「ならば」のような明確な真偽の説明を見たことがありません。

(5) 条件文「mn=1 ならば m+n≦5」自体が真なので、
全ての自然数 m,n に対して成立します。
m,n の値を求める問題としては適さないのではないでしょうか。

黒翼  
No title

>crazy_tomboさん

前提が嘘である必要はない気がします.
あくまで,前提が偽なら条件文は真になる.

だから,(m,n)はすべての自然数でよいのでは.

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、多くのコメントとポチを一度に頂き、有難う御座います。
プリムラ・サクラソウという名札がついていました。
プリムラ・オブコニカとの区別は分かりませんが。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントとポチを有難う御座います。
色も種類もいろいろあって覚えるには困りますが、
見て楽しむには、花の少ない時期でもあり、ありがたい花です。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
花の造形って不思議ですよね。
アップに耐えられるように神様が創ってくれたのでしょう。

ヤドカリ  
No title

> crazy_tomboさん,黒翼さん
いろいろと議論を有難う御座います。
上の uch*n*an さんへのリコメに記しましたが、
要するに、「のとき」という表現は論理の問題にはそぐわないと
私は思います。

黒翼  
No title

確かに「のとき」という表現は曖昧ですね.

条件を指定するなら,「mn=1とするとき」などとした方がよいのでしょうか.

スモークマン  
No title

>黒翼さん、やどかりさんへ ^^
ややこしくてすみません...
前提が「偽」だとすると...すべての自然数には"mn=1" も含まれてしまうから...(m,n)=(1,1) のときを認めることになり...矛盾しそうな気がするんだけど...^^;...?
つまり...mn=1 という前文が成り立ってしまうことになりますが...
それは前文が成り立たないと考えてる場合には...矛盾するようなきがしたけど...よく考えたら...前文が「真」なら「後文」も真も成り立ってればいいわけだから...けっきょくはすべての自然数でオーケーってわけですね ^^...Orz...納得♪

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントを有難う御座います。
「m,n を自然数として,mn=1 とするとき m+n≦5 となる m,n の値は?」
としてもあまり変わらないと思います。
(m,n)=(1,1) を答とするのだったら、
「m,n を自然数として,mn=1 かつ m+n≦5 となる m,n の値は?」
とすべきではないでしょうか?

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
納得された通りです。

黒翼  
No title

確かにそうですね.

その表現が一番紛らわしさがないと思います.
表現にも気を配らなければなりませんね.いろいろと確認できた問題でした.
難易度に比べて収穫が大きい問題ですね.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、何度もコメントを有難う御座います。
> いろいろと確認できた問題でした.
と仰って頂ければ、出題の甲斐があったというものです。

uch*n*an  
No title

やどかりさん,皆さんへ
「~とき」は,確かにあいまいなところがあり,実際,論理記号に直す際には,
「∧」とすべきときと「→」とすべきときがあります。
したがって,やどかりさんの解答は賢い解答です。
しかし,実際の数学の問題では「~とき」はよく見かける表現で文脈によって判断しています。
この質問は,そのニュアンス,特に通常はどう捉えているのか,の確認を問うているので,
個人差が出てもいいのですが,単に答えられない,という解答は非常に残念です。
なお,一応,私は通常はこう解釈している,というのを,ご参考までに書いておきます。

uch*n*an  
No title

(1)は,k <= 3/82 でいいでしょう。
(2)は,文の形から「ならば」の代わりに使っていると考えるのが自然なので,
やはり,k <= 3/82,と考えます。
(3)は,文の形が変わっており,「~とき」の後に区切りがあるので,
私だったら,文が並列に並んでおり,「ならば」の代わりと考えるのには無理があり,
したがって,「∧」の代わりで「~とき」が真に限定されている,とナイーブに考えます。
そこで, 0 <= k <= 3/82,と考えます。
(4)は,さらに文の形が変わっていますが,「~とき」の後に区切りがあるのは同じなので,
やはり,0 <= k <= 3/82,と考えます。
(5),(6)も同じ理由で,
(5)は,m,n はすべての自然数
(6)は,(m,n) = (1,1)
と答えると思います。

黒翼  
No title

>uch*n*anさん

文章の表現から受けるイメージというのは結構ありますよね.
しかし,「のとき」という表現は曖昧で,句読点の有無で判断するというのも一つはあると思いますが,避けた方がいいように思います.

結構いろんな場所で見る表現なんですが…

uch*n*an  
No title

>結構いろんな場所で見る表現なんですが…
はい。残念ながら,実際の数学の問題文では,「~とき」の方が普通で,
「かつ」,「ならば」の方が少ないです。
そこらを考慮しての,あくまでも一つの指摘です。

スモークマン  
No title

>uch*n*anさんへ ^^
わたしだったら...「~のとき」は素直に?...「^」と解釈して解いちゃいそうです...^^
日本語ってのは曖昧ってことの傍証かもですね...?
英語なら明確な表現になってるのだろうと想像しますが...どうなんだろ?...Orz...

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
私なりに「のとき」を考えてコメントしましたので、
「残念です」と言われても困るのですが、
複数の意味にとれるような問題をあまり答えたくないのが本音です。
もし、どうしても答えないといけないような試験だったら、
「k<0 の場合を認めると k≦3/82 、認めないなら 0≦k≦3/82」
というような答案を書くと思います。
(2)(3)(4)ともに微妙な表現で、まず k<0 の場合はどうなるのかという疑問を持ち、
いずれの場合もそんな答案にすると思います。

確かに「のとき」の表現を用いていることも多いのですが、
空でない場合が多く、特に意識しているわけではありません。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、uch*n*anさん、crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
私はこの問題で条件文「ならば」の真偽についての確認のつもりで出題しただけですので、
出題時に「のとき」を全く考えていませんでした。
このようにいろいろと議論していただき、勉強になりました。