[答382] 条件文を満たす定数

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[答382] 条件文を満たす定数


　x，y，z を実数として、条件文「x²＋y²＋z²≦k ならば 11x＋10y＋5z＋3≧0」が真であるような

　実定数 k の範囲は？


[解答]

　k＜0 のとき、x²＋y²＋z²≦k を満たす実数の組(x，y，z)が存在しないので真です。

　k＝0 のとき、x²＋y²＋z²≦k を満たすとき x＝0，y＝0，z＝0 で真です。

　k＞0 のとき、領域 x²＋y²＋z²≦k が 11x＋10y＋5z＋3≧0 に含まれればいいので、

　球の中心(0，0，0)と平面 11x＋10y＋5z＋3＝0 の距離が半径 √k 以上であることと同値です。

　従って、|3|/√(11²＋10²＋5²)≧√k 、9/246≧k 、3/82≧k です。

　よって、k の範囲は k≦3/82 になります。


[参考] 条件文の真偽について

　「p ならば q」が真であるというのは、p を満たすが q を満たさない例(反例)が存在しないことです。

　本問について、k＜0 のとき、奇異に感じられるかもしれませんが、

　条件文「x²＋y²＋z²≦k ならば 11x＋10y＋5z＋3≧0」が真というのは、

　「x²＋y²＋z²≦k かつ 11x＋10y＋5z＋3＜0」を満たす(x，y，z)が存在しないということです。

　集合　{(x，y，z)|x²＋y²＋z²≦k}＝φ ですので、当然成り立ちます。

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