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[答383] 四角錐の体積

ヤドカリ

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[答383] 四角錐の体積


 空間内に、A(0,0,5),B(-3,-2,0),C(2,-3,0),D(3,2,0),E(-2,3,0) を頂点とする

 正四角錐A-BCDE があります。辺ACを 3:2 に内分する点をP,辺AEを 2:1 に内分する点をR として、

 B,P,R を通る平面で切断し、平面BPRと辺ADの交点をQ とします。

 このとき、四角錐A-BPQR の体積は?


[解答1]

 ベクトルを太字で表すことにします。

 内分点の公式により、P(6/5,-9/5,2),R(-4/3,2,5/3) で、

 平面BPRの方程式は、115x+55y-247z+455=0 になります。

 Q が AD を k:(1-k) に内分する点とすれば、Q(3k,2k,5-5k) だから、平面の方程式に代入し、

 345k+110k-1235+1235k+455=0 、k=6/13 、Q(18/13,12/13,35/13) になります。

 BQ=(57/13,38/13,35/13)=(57,38,35)/13 ,RP=(38/15,-19/5,1/3)=(38,-57,5)/15 、

 四角形BPRQ=(1/2)√{|BQ|2|RP|2-(BQRP)2}=(1/2)√{(5918/132)(4718/152)-1752/(132・152)} 

  ={1/(2・13・15)}√(5918・4718-1752)=(√27890499)/390=(19√77259)/390 です。 

 四角形BPRQを底面としたときの高さは、A(0,0,5) と 平面BPR:115x+55y-247z+455=0 の距離で、

 ヘッセの公式により、780/√77259 になります。

 求める体積は (1/3){(19√77259)/390}(780/√77259)=38/3 です。


[解答2]

 ベクトルを太字で表すことにします。

 もとの正四角錐は、底面の1辺が √26 で、高さが 5 だから、その体積は 26・5/3=130/3 です。

 AQ=kAD ,四角錐A-BPQR の体積をV とおいておきます。

 CDBE だから ADACAEABADACAEAB です。

 BQ=sBP+tBR とおくと、AQAB=s(APAB)+t(ARAB) 、AQAB=sAP+tAR-(s+t)AB

 k(ACAEAB)-AB=(3/5)sAC+(2/3)tAE-(s+t)AB となって、

 ACAE,-AB は一次独立だから、 k=3s/5 ,k=2t/3 ,k+1=s+t 、

 5k/3=s ,3k/2=t 、k+1=5k/3+3k/2 、k=6/13 になります。

 平面ACEで切断すると、

 三角錐ABPR=(AP/AC)(AR/AE)(三角錐ABCE)=(3/5)(2/3)(65/3)=26/3 、

 三角錐APQR=(AP/AC)(AQ/AD)(AR/AE)(三角錐ACDE)=(3/5)(6/13)(2/3)(65/3)=4 、

 よって、V=26/3+4=38/3 になります。


[解答3]

 もとの正四角錐は、底面の1辺が √26 で、高さが 5 だから、その体積は 26・5/3=130/3 です。

 AQ/AD=k ,四角錐A-BPQR の体積をV とおいておきます。

 まず、平面ABDで切断すると、

 三角錐ABPQ=(AP/AC)(AQ/AD)(三角錐ABCD)=(3/5)k・(65/3)=13k 、

 三角錐ABQR=(AR/AE)(AQ/AD)(三角錐ABDE)=(2/3)k・(65/3)=130k/9 、

 よって、V=13k+130k/9=247k/9 になります。

 次に、平面ACEで切断すると、

 三角錐ABPR=(AP/AC)(AR/AE)(三角錐ABCE)=(3/5)(2/3)(65/3)=26/3 、

 三角錐APQR=(AP/AC)(AQ/AD)(AR/AE)(三角錐ACDE)=(3/5)k・(2/3)(65/3)=26k/3 、

 よって、V=26/3+26k/3 になります。

 247k/9=26/3+26k/3 だから、247k=78+78k 、k=6/13 となって、

 V=26/3+26k/3=26/3+26・6/(3・13)=38/3 です。


[参考]

 AP=pAC,AR=rAC として、[解答2][解答3]のようにして計算すれば、AQ={pr/(p+r-pr)}AD で、

 求める体積は、もとの四角錐の体積の pr(p+r)/{2(p+r-pr)} 倍になります。

 これは、もとの四角錐の底面が平行四辺形であれば成り立ちます。

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Comments 20

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黒翼  
No title

解答1,2は計算がかなり大変ですね.
それに比べれば,解答3はかなり簡単です.思いつきませんでした.
正直なところ,三角錐ABPR=(AP/AC)(AR/AE)(三角錐ABEC)となるところも上手く納得しきれていません.

いくつか気になるところがありますので,確認をお願いいたします.

解答2の6行目は,ARではなく,AEではないでしょうか.
ARを(2/3)AEと置き直したと解釈したのですが.

解答2の11行目は,三角錐ABDEではなく,三角錐ABCEではないでしょうか.
同じく,解答3の9行目もです.
三角錐ABCEもABDEも体積は同じなのですが,式として表す場合にはそのようにした方がいいのかなと思います.

僕の勘違いでしたら申しわけありません.

ポチ☆を入れさせていただきます.

ひとりしずか  
No title

中心に蕾がびっしり・・・先の楽しみ
持たせてくれますね・・・
雨上がりですか?
ポチ☆

uch*n*an  
No title

う~む,なかなか面倒なのもありますね。
[解答1]は,発想は単純ですが計算がかなり面倒。
[解答2]は,計算は容易ですが,ベクトルの扱いに慣れていないと難しいかも知れません。
[解答3]は,これは算数っぽく文句無く簡明ですね。ただ,この一次方程式は算数かどうか微妙。
この問題は見かけは数学ですが算数で解ける問題です。そこで,私は算数解法を目指しました。
私の解法は二つ。まず平面ACEでの断面を考え,次に平面ABDでの断面を考えるものです。
(解法1)は,メネラウスの定理を使う解法。
メネラウスの定理自体は算数からはみ出しているかも,ですが,
適宜,補助線を引いたり面積比に持ち込んだりして回避できるので,簡便のために使いました。
(解法2)は,角の二等分線の定理を使う解法。さらに,簡単な一次方程式を使うかどうかで二通り。
ここでは,(解法1),(解法2)の両方を,ご参考までに書いておきましょう。
なお,[参考]の一般化は,(解法1)の方で比較的容易に出せるようです。

uch*n*an  
No title

(解法1)
まず,O(0,0,0) とします。また,傾きや辺の長さなどから,
□BCDE は面積 (3 + 3) * (3 + 3) - (3 + 2) * (3 - 2) * 1/2 * 4 = 26 の正方形になります。
次に,△ACE を含む断面を考えます。AO と PR の交点を S とします。
もちろん,S は B,P,R を通る平面上の点で,対称性より,AO と BQ の交点にもなっています。
CE の延長と PR の延長との交点を T とします。
メネラウスの定理より,
CP/PA * AR/RE * ET/TC = 1,2/3 * 2/1 * ET/TC = 1,ET/TC = 3/4。
そこで,CO:OE = 1:1 なので,CO:OT = 1:7,OT/TC = 7/8 になって,
メネラウスの定理より,
AS/SO * OT/TC * CP/PA = 1,AS/SO * 7/8 * 2/3 = 1,AS/SO = 12/7。

uch*n*an  
No title

さらに,△ABD を含む断面で考えると,BO:OD = 1:1 なので,
メネラウスの定理より,
AS/SO * OB/BD * DQ/QA = 1,12/7 * 1/2 * DQ/QA = 1,DQ/QA = 7/6。
つまり,AQ:QD = 6:7 になります。これらのことから,
四角錐A-BPQR = 三角錐A-BPR + 三角錐A-QPR
= 三角錐A-BCE * AB/AB * AP/AC * AR/AE + 三角錐A-DCE * AQ/AD * AP/AC * AR/AE
= 四角錐A-BCDE * 1/2 * 3/5 * 2/3 * (1 + 6/13) = 26 * 5 * 1/3 * 1/5 * 19/13 = 38/3
になります。

uch*n*an  
No title

(解法2)
S を取るまでは(解法1)と同じ。
各点から xy 平面に下ろした垂線の足を「'」を付けて表すことにします。A'= S'= O です。
∠OAC = ∠OAE より,PS:RS = AP:AR = (3/5):(2/3) = 9:10,相似を使って,
SO = SS' = RR' + (PP' - RR') * RS/(RS + PS) = 5/3 + (2 - 5/3) * 10/19 = 35/19
さらに,△ABD を含む断面で,O から BQ に平行に線を引いて AD との交点を F として,
AS:SO = (5 - 35/19):(35/19) = 12:7,AQ:QF:FD = 12:7:7,AQ:AD = 12:26 = 6:13
後は,(解法1)と同じです。

uch*n*an  
No title

[参考]に関しては,(解法2)でも同じようにできました。
ただ,(解法1)も(解法2)も算数解法なので?,場合分けが必要です。
その点,[解答2],[解答3]の方が簡潔のようです。特に,[解答3]は簡明ですね。

スモークマン  
No title

グーテンアーベント ^^
たしかに!!
解法3は...直接AQ:AD を求めなくても求まるという優れものですね♪
お気に入り♡

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
また、タイプミスのご指摘を有難う御座います。
早速訂正しました。
太字等のタグを沢山使うとどうしても、集中力が低下し、
タイプミスが多くなってしまいます。
これからも間違いや良案があればお知らせください。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
蕾の多いのは、これから咲く花が多いので期待も大きいです。
サクラソウが可愛いことは写真を撮っていて再認識した次第です。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと詳しい解答を有難う御座います。
貴殿のメネラウスの定理を使った解答も載せようと思いましたが、
図が広がることと、2通りの切り方をするなら、[解答3]のようにも解けるので、躊躇していて、
結局、時間切れとなってしまいました。申し訳ないことです。

本問は、計算だけで解くと、かなりの計算力が必要になる例として、わざと空間座標にしました。
そのまま解かれた方はかなり苦労されたようです。
貴殿のように、算数的な解法を目指すとスッキリしますね。

ヤドカリ  
No title

crazy_tomboさん、コメントを有難う御座います。
[解答3]が想定解でした。

いっちゃん  
No title

こんばんは。
お花が雨に濡れて雫が可愛いですね。
こちらも雨です。この時期に降る雨は木の芽雨というそうですが、冷たいけど、春を呼ぶようであったかくなります。ポチ

さっちゃんこ  
No title

こんばんは
雨降りの日のサクラソウですネ
水も滴る綺麗なお花

優しいピンクの色も良いですネ ポチ

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
「木の芽雨」という言葉は知りませんでした。
二十四節季でも立春の次は雨水ですね。
雨が春を呼ぶと思えは、不思議と鬱陶しさはなくなります。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとポチを有難う御座います。
水滴のついた花は潤っているようで感じがいいです。
花のピンクはありふれていますが、ありふれているから落ち着きます。

アキチャン  
No title

おはようございます。
コメント忘れていますf(^。^;
ピンク色がかわいいですね(o^-^o)ポチ♪

tsuyoshik1942  
No title

すっきりした解法があるはずとにらみながらそれを見出せず、苦労しました。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、コメントとポチを有難う御座います。
ピンクのサクラソウ、可愛さと美しさがありました。

ヤドカリ  
No title

tsuyoshik1942さん、コメントを有難う御座います。
私は[解答3]を思いついて出題しました。
これがいちばんスッキリしていると思います。