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[答385] 四角形の対辺の交点の距離

ヤドカリ

ヤドカリ



[答385] 四角形の対辺の交点の距離


 AB=18,BC=8,CD=6,DA=16 の四角形ABCDが円に内接していて、

 直線ABと直線DCの交点をP,直線BCと直線ADの交点をQとするとき、PQ=?


[準備]

 △PAD∽△PCB より、

  PA:PC=AD:CB=PD:PB 、(PB+18):PC=16:8=(PC+6):PB 、

  PB+18=2・PC ,PC+6=2・PB 、これを解いて、PB=10,PC=14 です。

 △QAB∽△QCD より、

  QA:QC=AB:CD=QB:QD 、(QD+16):QC=18:6=(QC+8):QD 、

  QD+16=3・QC ,QC+8=3・QD 、これを解いて、QC=7,QD=5 です。

 以下、PB=10,PC=14,QC=7,QD=5 を利用して解答を書きます。


[解答1]

 余弦定理により、

 PQ2=AP2+AQ2-2・AP・AQcos∠A=282+212-2・28・21cos∠QCD

  =1225-1176{(QC2+CD2-QD2)/(2・QC・CD)}=1225-1176{(72+62-52)/(2・7・6)}

  =1225-1176・60/(2・7・6)=1225-840=385 、

 PQ=√385 になります。


[解答2] uch*n*anさんのコメントより

 P から AQ に,Q から CD に,それぞれ垂線を下ろしその足を H,I とすると,

 CI+DI=6,三平方の定理より,

 QI2=QC2-CI2=QD2-DI2

 QC2-QD2=CI2-DI2=(CI+DI)(CI-DI),

 72-52=6(CI-DI),CI-DI=4,

 CI=5,DI=1,QI2=24

 △PAH∽△QCI,相似比 4:1,AH=CI・4=20,QH=1,PH2=(QI・4)2=24・16=384

 三平方の定理より,PQ2=AH2+QH2=384+1=385,PQ=√385

 になります。


[解答3] uch*n*anさんのコメントより

 平行四辺形CPEQ を作り,PE,AQ の延長の交点を R とします。そして,

 △REQ∽△RAP より,RE:(RQ+QA)=RQ:(RE+EP)=EQ:AP,

 RE:(RQ+21)=RQ:(RE+7)=14:28=1:2,RE:RQ=7:5,

 △REA∽△RQP より,AE:PQ=RE:RQ=7:5,AE=(7/5)・PQ。

 さらに,∠PAQ+∠PEQ=∠PAQ+∠PCQ=∠BAD+∠BCD=180゚ となって,

 四角形APEQ は円に内接します。そこで,トレミーの定理より,

 AP・EQ+AQ・EP=PQ・AE,PQ・AE=AP・PC+AQ・QC,

 PQ・(7/5)・PQ=28・14+21・7,PQ2=385,PQ=√385 になります。


[解答4] uch*n*anさんのコメントより

 PC:DC=14:6=7:3 より,△QPD にスチュワートの定理を使って,

 3・QP2+7・QD2=3・PC^2+7・DC^2+(7+3)・QC^2

 3・PQ2+7・52=3・142+7・62+10・72

 PQ2=7・(84+36+70-25)/3=385,PQ=√385 になります。


[解答5]

 △PCBの外接円とPQの交点をRとすると、

 ∠PRC=∠CBA=∠CDQ だから、四角形CRQDも円に内接します。

 方べきの定理を使って、

 PQ2=(PR+QR)・PQ=PR・PQ+QR・QP=PC・PD+QC・QB=14・20+7・15=385 、

 PQ=√385 です。

.

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Comments 18

There are no comments yet.
黒翼  
No title

いろいろな解法がありますね.
時間が足りなくて,途中までしか読めていませんので,後で続きを読みたいと思います.

解答5の4行目はタグのミスですね.<SUR>になっています.

ポチ☆を入れておきます.

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
美しい解法3&5には気づきたかったなぁ♪
図形問題は頭の軟らかさを問われますねぇ ^^;v

古い人  
No title

此のチュウリップ育ちも色も最高ですね。

開花したら見事でしょうね。
ポチ。

アキチャン  
No title

おはようございます。
昨日の色と少し違って これもいい♪ (o^-^o)ポチ♪

ニリンソウ  
No title

朝の陽射しいっぱい!
なかなか美人のチューリップね、急がなくていい
ゆっくり開いてね。 ポチ

uch*n*an  
No title

これはいろいろと考えられる楽しい問題でした。
私の解法は五つ+α。[準備]はすべての解法で同じです。
(解法1)は,[解答1]と同じ。
(解法2)は,[解答2]です。これを少しアレンジし直したのが「+α」です。
(解法2)は,[解答3]と同様にトレミーの定理を使うのですが,もう一工夫します。
ご参考までに書いておきましょう。
(解法4)は,[解答4]です。
(解法5)は,[解答3]です。
[解答5]は思い付きませんでした。これは見事ですね。

uch*n*an  
No title

(解法3)
トレミーの定理より,AB * CD + BC * DA = AC * BD,AC * BD = 18 * 6 + 8 * 16 = 236
△QBD ∽ △QAC,BD:AC = QD:QC = 5:7,BD^2 = 236 * 5/7
ここで,△APQ と △CBD を比較すると,AP:AQ = 4:3 = CB:CD,∠PAQ + ∠BCD = 180°で,
△APQ の 1/7 と △CBD の 1/2 を,例えば 3 の辺でうまくくっつけると,
パップスの中線定理が使えて,
(PQ/7)^2 + (BD/2)^2 = 2 * (3^2 + 4^2),(PQ/7)^2 + 59 * 5/7 = 50,PQ^2 = 385,PQ = √385
になります。

黒翼  
No title

読み終わりました.

上手い解法が多く感動します.
スチュワートの定理は知りませんでした.(もしかしたら覚えていなかっただけかもしれませんが…)検索して,しっかり勉強させていただきました.
しばらくしたら,忘れないようにスチュワートの定理を使った問題を作ってみたいですね.

uch*n*anさんの解答,これもまた感動です.二つの三角形をくっつけて中線定理に持ち込むなんて斬新ですね.

ひとりしずか  
No title

透過された葉に陽射しの暖かさ感じます。ポチ☆

今日、薄~紫のチュウリップとトルコキキョウとスイトピーで
小さな花束にして、お仏前ように贈りました・・・

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、2度のコメントとポチとタイプミスの指摘を有難う御座います。
スチュワートの定理を私は知っていますが、うろ覚えですので、
必要であれば、その都度導きます。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
「気づきたかったなぁ」は、貴殿のコメントで、何回か見ました。
そう思った時、きっと、脳は活性化していますよ。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
開花直前のチューリップが、私は好きです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
昨日アップしたのと少し色が違います。日光で明るい雰囲気になりました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
私もゆっくり開いてほしいです。
陽ざしか雰囲気を明るいものにしました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントを有難う御座います。
当初、(解法3)を載せようを思ったのですが、(解法5)にしました。
「うまくくっつけると」を図にするの難しかったので。
ところで、[解答5]の解き方はどなたもされませんでした。
私は、この図を活かせるように作問しました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
薄紫のチューリップを見られましたか。
チューリップに春の訪れを感じます。

さっちゃんこ  
No title

朝の陽ざしを受けているのでしょうか

葉っぱに差し込む日の光が
何とも言えない雰囲気を醸し出していますね

このまま時間が止まって欲しい位ですね ポチ

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、コメントとポチを有難う御座います。
陽の光を浴びた花もいいものです。
止まらなかったけどいい時間でした。笑