[答387] 辺が整数で60゚の角をもつ三角形
'
[答387] 辺が整数で60゚の角をもつ三角形
3辺の長さ BC,CA,AB が自然数,C=60゚,BC<CA を満たす△ABCで、BC+CA が最小のものについて、
BC,CA,AB の長さは?
[解答]
BC=a,CA=b,AB=c とします。
A+B=120゚ で A<B だから、A<60゚<B 、したがって、a<c<b になります。
また、b<a+c<2b だから、GCD(a+c-b,2b-a-c)=g ,a+c-b=mg ,2b-a-c=ng とおけば、
g,m,n は自然数で、GCD(m,n)=1 ,b=(m+n)g ,c+a=(2m+n)g になります。
余弦定理により、c2=a2+b2-2ab・cos60゚ だから、
(c+a)(c-a)=b(b-a) 、(2m+n)g(c-a)=(m+n)g(b-a) 、(2m+n)(c-a)=(m+n)(b-a) です。
ここで、GCD(2m+n,m+n)=GCD(m,m+n)=GCD(m,n)=1 だから、
b-a=(2m+n)h ,c-a=(m+n)h と表されます。
2(b-a)-(c-a)=2(2m+n)h-(m+n)h 、2b-a-c=(3m+n)h になりますので、ng=(3m+n)h です。
ここで、 g=(3m+n)k ,h=nk とおけば、GCD(g,h)=k・GCD(3m+n,n)=k・GCD(3m,n) だから、
n が3の倍数であれば、GCD(g,h)=3k ,n が3の倍数でなければ、GCD(g,h)=k です。
また、b=(m+n)g=(m+n)(3m+n)k=(3m2+4mn+n2)k 、
b-a=(2m+n)h より a=b-(2m+n)h=b-(2m+n)nk=(3m2+2mn)k 、
c-a=(m+n)h より c=a+(m+n)h=a+(m+n)nk=(3m2+3mn+n2)k です。
まとめれば、
a=(3m2+2mn)k ,b=(3m2+4mn+n2)k ,c=(3m2+3mn+n2)k です。
なるべく簡単な自然数にするために、GCD(g,h) で割れば、
n が3の倍数のとき、
a=(3m2+2mn)/3 ,b=(3m2+4mn+n2)/3 ,c=(3m2+3mn+n2)/3 、
n が3の倍数でないとき、
a=3m2+2mn ,b=3m2+4mn+n2 ,c=3m2+3mn+n2 、
従って、a,b が最小の場合は、(m,n)=(1,3) または (m,n)=(1,1) のどちらかで、
(m,n)=(1,3) のとき (a,b,c)=(3,8,7) 、(m,n)=(1,1) のとき (a,b,c)=(5,8,7) 、
( この2つの三角形を長さ 7 の辺で合わせて、1辺が 8 の正三角形ができます )
結局、(a,b,c)=(3,8,7) です。
.