[答387] 辺が整数で60ﾟの角をもつ三角形

'


[答387] 辺が整数で60ﾟの角をもつ三角形


　３辺の長さ BC，CA，AB が自然数，C＝60ﾟ，BC＜CA を満たす△ABCで、BC＋CA が最小のものについて、

　BC，CA，AB の長さは？


[解答]

　BC＝a，CA＝b，AB＝c とします。

　A＋B＝120ﾟ で A＜B だから、A＜60ﾟ＜B 、したがって、a＜c＜b になります。

　また、b＜a＋c＜2b だから、GCD(a＋c－b，2b－a－c)＝g ，a＋c－b＝mg ，2b－a－c＝ng とおけば、

　g，m，n は自然数で、GCD(m，n)＝1 ，b＝(m＋n)g ，c＋a＝(2m＋n)g になります。

　余弦定理により、c²＝a²＋b²－2ab･cos60ﾟ だから、

　(c＋a)(c－a)＝b(b－a) 、(2m＋n)g(c－a)＝(m＋n)g(b－a) 、(2m＋n)(c－a)＝(m＋n)(b－a) です。

　ここで、GCD(2m＋n，m＋n)＝GCD(m，m＋n)＝GCD(m，n)＝1 だから、

　b－a＝(2m＋n)h ，c－a＝(m＋n)h と表されます。

　2(b－a)－(c－a)＝2(2m＋n)h－(m＋n)h 、2b－a－c＝(3m＋n)h になりますので、ng＝(3m＋n)h です。

　ここで、 g＝(3m＋n)k ，h＝nk とおけば、GCD(g，h)＝k･GCD(3m＋n，n)＝k･GCD(3m，n) だから、

　n が３の倍数であれば、GCD(g，h)＝3k ，n が３の倍数でなければ、GCD(g，h)＝k です。

　また、b＝(m＋n)g＝(m＋n)(3m＋n)k＝(3m²＋4mn＋n²)k 、

　b－a＝(2m＋n)h より a＝b－(2m＋n)h＝b－(2m＋n)nk＝(3m²＋2mn)k 、

　c－a＝(m＋n)h より c＝a＋(m＋n)h＝a＋(m＋n)nk＝(3m²＋3mn＋n²)k です。

　まとめれば、

　a＝(3m²＋2mn)k ，b＝(3m²＋4mn＋n²)k ，c＝(3m²＋3mn＋n²)k です。

　なるべく簡単な自然数にするために、GCD(g，h) で割れば、

　n が３の倍数のとき、

　a＝(3m²＋2mn)/3 ，b＝(3m²＋4mn＋n²)/3 ，c＝(3m²＋3mn＋n²)/3 、

　n が３の倍数でないとき、

　a＝3m²＋2mn ，b＝3m²＋4mn＋n² ，c＝3m²＋3mn＋n² 、


　従って、a，b が最小の場合は、(m，n)＝(1，3) または (m，n)＝(1，1) のどちらかで、

　(m，n)＝(1，3) のとき (a，b，c)＝(3，8，7) 、(m，n)＝(1，1) のとき (a，b，c)＝(5，8，7) 、

　( この２つの三角形を長さ 7 の辺で合わせて、１辺が 8 の正三角形ができます )

　結局、(a，b，c)＝(3，8，7) です。

.