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[答387] 辺が整数で60゚の角をもつ三角形

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答387] 辺が整数で60゚の角をもつ三角形


 3辺の長さ BC,CA,AB が自然数,C=60゚,BC<CA を満たす△ABCで、BC+CA が最小のものについて、

 BC,CA,AB の長さは?


[解答]

 BC=a,CA=b,AB=c とします。

 A+B=120゚ で A<B だから、A<60゚<B 、したがって、a<c<b になります。

 また、b<a+c<2b だから、GCD(a+c-b,2b-a-c)=g ,a+c-b=mg ,2b-a-c=ng とおけば、

 g,m,n は自然数で、GCD(m,n)=1 ,b=(m+n)g ,c+a=(2m+n)g になります。

 余弦定理により、c2=a2+b2-2ab・cos60゚ だから、

 (c+a)(c-a)=b(b-a) 、(2m+n)g(c-a)=(m+n)g(b-a) 、(2m+n)(c-a)=(m+n)(b-a) です。

 ここで、GCD(2m+n,m+n)=GCD(m,m+n)=GCD(m,n)=1 だから、

 b-a=(2m+n)h ,c-a=(m+n)h と表されます。

 2(b-a)-(c-a)=2(2m+n)h-(m+n)h 、2b-a-c=(3m+n)h になりますので、ng=(3m+n)h です。

 ここで、 g=(3m+n)k ,h=nk とおけば、GCD(g,h)=k・GCD(3m+n,n)=k・GCD(3m,n) だから、

 n が3の倍数であれば、GCD(g,h)=3k ,n が3の倍数でなければ、GCD(g,h)=k です。

 また、b=(m+n)g=(m+n)(3m+n)k=(3m2+4mn+n2)k 、

 b-a=(2m+n)h より a=b-(2m+n)h=b-(2m+n)nk=(3m2+2mn)k 、

 c-a=(m+n)h より c=a+(m+n)h=a+(m+n)nk=(3m2+3mn+n2)k です。

 まとめれば、

 a=(3m2+2mn)k ,b=(3m2+4mn+n2)k ,c=(3m2+3mn+n2)k です。

 なるべく簡単な自然数にするために、GCD(g,h) で割れば、

 n が3の倍数のとき、

 a=(3m2+2mn)/3 ,b=(3m2+4mn+n2)/3 ,c=(3m2+3mn+n2)/3 、

 n が3の倍数でないとき、

 a=3m2+2mn ,b=3m2+4mn+n2 ,c=3m2+3mn+n2


 従って、a,b が最小の場合は、(m,n)=(1,3) または (m,n)=(1,1) のどちらかで、

 (m,n)=(1,3) のとき (a,b,c)=(3,8,7) 、(m,n)=(1,1) のとき (a,b,c)=(5,8,7) 、

 ( この2つの三角形を長さ 7 の辺で合わせて、1辺が 8 の正三角形ができます )

 結局、(a,b,c)=(3,8,7) です。

.

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Comments 20

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スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
一般式は出ないけど...^^;...
最初から正三角形で考えたら求めるだけは簡単ですけど...^^

m^2={(√3/2)a}^2+b^2
4m^2=3a^2+4b^2
4(m+b)(m-b)=3a^2
a=2...
m-b=1,m+b=3...m=2...ありえないからx...m<a だから...
a=4...
m+b=6,m-b=2...m=4...x
a=6...
m+b=9,m-b=3...m=6,b=3...x
a=8...
m+b=24,m-b=2...m=13>8...x
m+b=12,m-b=4...m=8...x
m+b=8,m-b=6...m=7,b=1...♪
つまり...
正三角形の1辺 a=CA=8, BC=(a/2-b)=4-1=3, AB=m=7
つまり...
(BC,CA,AB)=(3,8,7)

アキチャン  
No title

おはようございます。
鮮やかですね~♪ 目が覚めました(o^-^o) ポチ♪

さっちゃんこ  
No title

ガーベラの花の様ですが未だ時期ではないですよね

真っ赤な花に元気貰えますね
ありがとうございます ポチ

uch*n*an  
No title

この問題は,一般解も含めてちゃんと解こうとすると厄介な問題でした。
[解答]は,なかなか巧妙で,なるほど,といった感じですが,
いろいろとやってみないと思い付かないだろうな,という気もします。
私の解法は三つ。
(解法1)は,まずはグラフもイメージしながら x^2 - xy + y^2 = 1 の有理数解を求め,
それを元に自然数の一般解を求める解法です。
この手法は,ピタゴラス数を求める際にも使われるなど,よく知られた方法です。
(解法2)は,なかなかすごい式変形をしピタゴラス数に持ち込んで一般解を導く解法です。
(解法3)は,一般解は求めずこの問題に特化した解法で,
a + b の値に注意しながら,a = 1, 2, 3, ... と調べていく解法です。
この問題を解くだけならば,これで十分で,難しくはありません。
なお,どれかをご紹介しようかとも思ったのですが,
(解法1),(解法2)は[解答]と同様長くなるし,(解法3)は一般解の後では物足りないので,
今回はやめておきます。

ひとりしずか  
No title

ガーベラこんなに沢山咲いてたら圧巻ですね~ポチ☆

ニリンソウ  
No title

赤いガーベラに元気貰えます!
活き活きと上をみて咲いてる~ ポチ

古い人  
No title

ガーベラが此の時期に咲いてますか。

この頃は季節感がなくなりましたね。
色といい形と言い最高ですねポチ。

uch*n*an  
No title

ちょっと気が変わって,長くなり恐縮ですが,(解法1)を紹介しておきましょう。
なお,[解答]の 2m + n,m + n が,(解法1)の m,n に対応しています。

uch*n*an  
No title

(解法1)
BC = a,CA = b,AB = c,a,b,c は自然数,a < b,とすると,C = 60°より,余弦定理で,
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(60°) = a^2 + b^2 - ab
c > 0 より,x = a/c,y = b/c とおくと,x,y は正の有理数で,
(a/c)^2 + (b/c)^2 - (a/c)(b/c) = 1,x^2 + y^2 - xy = 1
ここで,一般に有理数解を考えてみます。
(x,y) = (-1,0) は解なので,t を有理数として,y = t(x + 1) とおくと,
x^2 + (t(x + 1))^2 - x(t(x + 1)) = 1,(t^2 - t + 1)x^2 + (2t^2 - t)x + (t^2 - 1) = 0
(x + 1)((t^2 - t + 1)x + (t^2 - 1)) = 0

uch*n*an  
No title

そこで,x = -1 以外の意味のある解は,
x = (1 - t^2)/(t^2 - t + 1),y = (2t - t^2)/(t^2 - t + 1)
m,n を互いに素な自然数として t = n/m とすると,
x = (m^2 - n^2)/(m^2 - mn + n^2) = a/c,y = (2mn - n^2)/(m^2 - mn + n^2) = b/c
そこで,k を自然数として,
a = k(m^2 - n^2),b = k(2mn - n^2),c = k(m^2 - mn + n^2)

uch*n*an  
No title

ただし,a,b,c が k 以外に共通因数をもつことがあります。それは,
m^2 - n^2 = (m + n)(m - n),2mn - n^2 = n(3m - (m + n)),m^2 - mn + n^2 = (m + n)^2 - 3mn
より,m + n が 3 の倍数のときです。このとき,a,b,c は 3 の共通因数をもちます。
そして,m + n = 3d のとき,m,n は互いに素なので,d と m,n も互いに素で,
(m + n)(m - n) = 3(m - n)d,n(3m - (m + n)) = 3n(m - d),(m + n)^2 - 3mn = 3(3d^2 - mn)
より,共通因数は 3 だけと分かります。
この共通因数 3 は括り出し k の方に吸収すべきなので,要注意です。

uch*n*an  
No title

さて,今は 0 < a < b なので,0 < n < m < 2n です。また,n + 1,n は互に素なので,
BC + CA = a + b = k(m^2 + 2mn - 2n^2) = k((m + n)^2 - 3n^2)
>= k(((n + 1) + n)^2 - 3n^2) = k((n + 2)^2 - 3),k,n について単調増加
を最小にするので,k = 1 にしてよく,n をできるだけ小さくすればいいです。
以上のことより,
m + n が 3 の倍数でないとき
(m,n) = (3,2),(a,b,c) = (5,8,7),a + b = 13
m + n が 3 の倍数のとき
(m,n) = (5,4),(a,b,c) = (9,24,21) -> (a,b,c) = (3,8,7),a + b = 11
そこで,BC + CA が最小の場合は,BC = 3,CA = 8,AB = 7,になります。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
一般化を考えるとかなりの手ごたえを感じる問題ですね。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。

c²=a²+(b-a)²+a(b-a) として a,b-a を求めても簡単です。
a+b=2a+(b-a) ですので、a<b-a として片っ端から求めます。
7²=3²+5²+3・5 にいきつくはずです。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
紅い花は目に鮮やかですね。きれいなガーベラでした。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
都市緑化センターで見ました。
多分、温室育ちのものを飾っていたのだと思います。
目立っていました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、コメントと詳しい解答を有難う御座います。
一般解をきちんと表すとかなり長いですね。
私もいろいろ試行錯誤して、解答にまとめました。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
一輪ざしもなかなか風情があっていいものですが、沢山の花が集まった姿もいいですね。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、コメントとポチを有難う御座います。
鮮やかな紅い花には元気がもらえます。
「上をむぅ~いて」ですね。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントとポチを有難う御座います。
園芸種は確かに季節感に乏しいですが、花の少ない時期に安らぎをもらえます。
そのうち、季節感のある野草も咲きだしますね。