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[答388] 3桁のピタゴラス数

ヤドカリ

ヤドカリ


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[答388] 3桁のピタゴラス数


 8882-2882=705600=8402 の (888,288) や、 5002-3002=160000=4002 の (500,300) のように、

 m>n である3桁の自然数の組(m,n)の下2桁が共通で、その十の位と一の位が等しく、

 m2-n2 が平方数になる組で、m が最も小さくなる組は?


[解答]

 (m,n)の百の位を(a,b),ぞろ目の下2桁を 11c とします。ただし、1≦b<a≦9 、0≦c≦9 です。

 m2-n2=(m-n)(m+n)=100(a-b)(100a+100b+22c) だから、

 (a-b)(m+n)=(a-b)(100a+100b+22c) が平方数になればよいことになります。

 a-b=1 のとき、

  m+n=100a+100b+22c=200a-100+22c は偶数で平方数だから4の倍数、

  c=2d (0≦d≦4) とおけば、

  m+n=200a-100+44d=4(50a-25+11d) 、50a-25+11d が平方数になればよい。

  a=2 のとき、50a-25+11d=75,86,97,108,119 は平方数になりません。

  a=3 のとき、50a-25+11d=125,136,147,158,169 は d=4 のときだけ平方数です。

   m+n=4(50a-25+11d)=4・169=676,m-n=100 だから、(m,n)=(388,288) です。

  a≧4 のときは、m≧400 だから、m が最小にはなりません。

 a-b=2 のとき、

  2(m+n)=2(100a+100b+22c)=2(200a-200+22c)=4(100a-100+11c) 、

  100a-100+11c が平方数になればよい。

  a=3 のとき、100a-100+11c=200,211,222,233,244,255,266,277,288,299 は平方数になりません。

  a≧4 のときは、m≧400 だから、m が最小にはなりません。

 a-b≧3 のとき、a≧4 になり、m≧400 だから、m が最小にはなりません。

 したがって、m が最小の組は、(m,n)=(388,288) です。


[参考]

 このような組を全部求めると 次の6組です。

 (m,n)=(388,288),(444,144),(500,300),(500,400),(888,288),(922,522) 。

 ゾロ目の条件をはずせば全部で 50 組あり、以下の通りです。

 (m,n)=(212,112),(250,150),(292,192),(325,125),(356,156),(389,189),(338,238),
  (388,288),(444,144),(424,224),(461,261),(442,342),(538,138),(592,192),(534,234),
  (500,300),(541,341),(584,384),(500,400),(562,462),(610,110),(650,250),(636,336),
  (629,429),(676,476),(628,528),(698,598),(732,132),(740,240),(712,312),(778,378),
  (750,450),(725,525),(776,576),(772,672),(854,154),(807,207),(888,288),(890,390),
  (848,448),(876,576),(829,629),(884,684),(850,750),(929,129),(976,176),(975,375),
  (922,522),(941,741),(932,832)

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Comments 15

There are no comments yet.
アキチャン  
No title

おはようございます。
小さなお花、かわいいですね(o^-^o)
家にもあったように思いますが、まだ咲いていませんf(^。^;
ポチ♪

こっこちゃん  
No title

ヾ(@⌒ー⌒@)ノおはようございます
小さな 可愛いですね”

今から 名もわからない 野の花が沢山咲いてくれてますよね”ポチ

さっちゃんこ  
No title

おはようございます
ヒナ草に良く似たこの花
時々畑などに咲いているのを見る事が出来ますね
名前忘れてしまいましたが可愛くて大好きです

もうこんなに咲いているのですね
春がやってきているのですね ポチ

uch*n*an  
No title

この問題は,ある程度条件を絞って後は地道に調べるしかなさそうですね。
私の解法も,後半は少し違う,a - b での場合分けはしなかった,のですが,
考え方は大体同じでした。

ニリンソウ  
No title

おはようございます!
クイズみたいです解らない花、小さいね花屋さんのでしょう?
コルシカミントかな! ポチ

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
冬のバラ園のバラの下で見ました。
バラはほとんど枯れていましたが、アリッサムは咲いていました。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
実はバラ園に咲いていたアリッサムです。
密集して咲いていて目立ちました。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
見間違えるかも知れませんが、アリッサムです。
沢山咲いていたので近づいて撮りました。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントを有難う御座います。
きちんと解けば、だいたいこのようになると思います。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
もし雪に埋まっていたら白いこんな花は目立ちませんね。

黒翼  
No title

この問題は地道に調べるのが一番の近道なのでしょうね.

僕の場合は,
m=100a+11c,n=100b+11cとして,
m^2ーn^2=(100^2)(a^2ーb^2)+200*11(a-b)c
=100(a-b){100(a+b)+22c}
100は平方数なので,(a-b){100(a+b)+22c}が平方数ならいいということになります.

a=2のとき,b=1のみで,(a-b){100(a+b)+22c}=300+22c
300,322,344,366,388,410,432,…,498の中に平方数はありません.

a=3のとき,
b=1なら,(a-b){100(a+b)+22c}=2(400+22c)=4(200+11c)
200+11cが平方数かを調べます.200,211,…,299に平方数はありません.
b=2なら,(a-b){100(a+b)+22c}=500+22c
522,544,566,588,…,676,698で676は平方数です.
a=3,b=2,c=8なので,(m,n)=(388,288)です.

黒翼  
No title

解答を送ったときには,11cの置き換えをしていなかったので,200+11cなどのときは,200代の平方数を先にあげてぞろ目になるかを確認しました.

例えば,200+11cなら,
200~299の平方数225,256,289でcが整数になるものがない.
といった感じですね.こちらの方が計算数が少ないかもですね.

ポチ☆を入れておきます.

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、コメントとポチを有難う御座います。
> 200+11cなどのときは,200代の平方数を先にあげてぞろ目になるかを確認しました.
この辺の平方数はすべて頭にありますので、意識しませんでしたが、
数からいえば平方数を書き出すのが早いですね。

古い人  
No title

遅くなりました此の手の花は分かりませんね。

でも小さな四弁花可愛くて綺麗ですね。
ポチ。

ヤドカリ  
No title

古い人さん、コメントとポチを有難う御座います。
アリッサムです。バラの花のないバラ園で見ました。