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辺の長さが自然数で60゚,120゚の角をもつ三角形

ヤドカリ

ヤドカリ



辺の長さが自然数で60゚,120゚の角をもつ三角形


 3辺の長さが自然数で 60゚ や 120゚の角をもつ三角形で、正三角形以外のものを求めてみます。


 まず、60゚の角をもつ三角形については、60゚をはさむ2辺の所で正三角形を切り取れば、

 120゚の角をもつ三角形ができます。

 逆に、120゚の角をもつ三角形に正三角形をつければ、 60゚の角をもつ三角形が2種類できます。

 ( 右図のように、その2種類の三角形で大きな正三角形を作れます )

 従って、120゚の角をもつ三角形を考えれば、60゚の角をもつ三角形は求められます。

 120゚の角をはさむ2辺の長さを a,b (a>b)、対辺を c とします。

 ( 60゚の角をもつ三角形の3辺は a,a+b,c または a+b,b,c になります )


 b<a<c<a+b だから、GCD(b,c-a)=g ,a+b-c=mg ,c-a=(m+n)g とおけば、

 g,m,m+n は自然数で、GCD(m,m+n)=1 だから、GCD(m,n)=1 になります。

 また、b=(2m+n)g ,a+2b-c=(3m+n)g になります。

 余弦定理により、c2=a2+b2-2ab・cos120゚ だから、

 (c-a)(c+a)=b(a+b) 、(m+n)g(c+a)=(2m+n)g(a+b) 、(m+n)(c+a)=(2m+n)(a+b) です。

 ここで、GCD(2m+n,m+n)=GCD(m,m+n)=1 だから、a+b=(m+n)h ,c+a=(2m+n)h と表されます。

 また、a+2b-c=2(a+b)-(c+a)=2(m+n)h-(2m+n)h=nh>0 だから、n>0 で、

 a+2b-c=(3m+n)g=nh となって、g=nk ,h=(3m+n)k とおきます。

 ここで、GCD(h,g)=k・GCD(3m+n,n)=k・GCD(3m,n) だから、

 n が3の倍数であれば、GCD(g,h)=3k ,n が3の倍数でなければ、GCD(g,h)=k です。

 b=(2m+n)g=(2m+n)nk 、a+b=(m+n)h=(m+n)(3m+n)k 、

 a=(a+b)-b=(m+n)(3m+n)k-(2m+n)nk=m(3m+2n)k 、

 c-a=(m+n)g より c=(m+n)g+a=(m+n)nk+m(3m+2n)k=(3m2+3mn+n2)k

 になります。


 まとめると、

 a=m(3m+2n)k ,b=(2m+n)nk ,a+b=(m+n)(3m+n)k ,c=(3m2+3mn+n2)k

 ( ただし、m,n は自然数で、n が3の倍数でないとき k は自然数、n が3の倍数のとき k は自然数/3 )

 3辺が a,b,c の三角形は c の対角が 120゚ 、

 3辺が a,a+b,c または a+b,b,c の三角形は c の対角が 60゚

 です。

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Comments 20

There are no comments yet.
さっちゃんこ  
No title

金の生る木 見事に花が咲いていますねー
ピンクの花は結構付き易い様ですが
白の花はめったに着きませんね

貴重な写真です ありがとうございます ポチ

スモークマン  
No title

グーテンモルゲン ^^
おもしろいですね♪
これから...面積は整数にはならない=ヘロンの三角にはならないことがわかりますね...で...角が30°のとき、辺が整数である△はあるか?...
そのときはヘロンの△になるし...^^...考えてみようかなぁ...Orz...
ただ...上の△の60°を半分にしたものではあり得ないことはわかりますね...もし可能なら...残りの面積も整数になるけど...sin60°=√3/2だから無理ですものね...^^;v

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
白は珍しいのですか?
ところで、宝くじ、そのうちに買おうと思っています。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
白は珍しいようですね。知りませんでした。
ピンクは今朝の散歩の途中で見ました。

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、早速のコメントを有難う御座います。
3辺が a,b,c のとき、cosθ=(a²+b²-c²)/(2ab) だから、
3辺が自然数だったら、cosθ は有理数です。
ということで、よく使われる角では、60゚,90゚,120゚ しか考えられませんね。

いっちゃん  
No title

こんにちは。
可愛くて清楚な花ですね。
風邪引いていましたが、ここへお邪魔してもPCなら罹したりしないから大丈夫ですね。笑
久しぶりのポチ

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
そうですねぇ...^^;...いま気づきました...
a^2+b^2-2abcos30°=c^2
cos30°=√3/2 だから...c は整数にならないのでしたぁ...Orz...
面積も整数なるヘロンの△ってのは...けっきょく...直角三角形を2個くっつけたものだけに限られそうですね...^^;...?

ひとりしずか  
No title

横浜に住む娘が、ベランダに置いていた鉢を
暫く振りに見たらしおれていたと嘆いています。
今年は花年なのか、多くのブログで見ました~
ちいちゃな、綺麗な花です~ポチ☆

ヤドカリ  
No title

いっちゃん、コメントとポチを有難う御座います。
金のなる木で懐が温まったら、風邪も飛んでいきそうです。
とりあえず、身体を休めて早い回復を!

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
sin も cos も有理数になるのは、ピタゴラス三角形しかありませんので、
直角三角形か、それを合わせて作るヘロンの三角形しかありませんね。

ヤドカリ  
No title

ひとりしずかさん、コメントとポチを有難う御座います。
枯れていたのは残念でしたね。
花は小さくてかわいいです。

ゆうこ つれづれ日記  
No title

こんにちは~~
金のなる木のピンクはブロ友さんのところでたくさん見ていました。
でも白っぽいのは珍しいです。
白も美しいわ~~~
ポチッ☆

スモークマン  
No title

グーテンターク ^^
教えてください...Orz...
>sin も cos も有理数になるのは、ピタゴラス三角形しかありません
これはどうやって証明できるのでしょうか...?
逆は当然ながら了解できるのですが...^^v

ヤドカリ  
No title

ゆうこさん、コメントとポチを有難う御座います。
白の金のなる木は珍しいようですね。
私には猫に小判ですね。笑

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
> これはどうやって証明できるのでしょうか...?
証明と言われても困りますね。
簡単に書きましたが、
鋭角で、sin も cos も有理数になるとしたら、
直角三角形の3辺が整数比だからです。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
実は...ヘロンの三角形はピタゴラスの三角形の組み合わせのものしかないと書かれているのですが...なぜそれ以外はないと言えるのかが...わたしの質問の元なんですぅ~...^^;
ピタゴラスの三角形のsin,cosが有理数になることは当然なのですが...
その逆の説明が意外に見つけられないもので...Orz...

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
ご質問の意味は分かりました。時間がある時に考えてみます。

スモークマン  
No title

>やどかりさんへ ^^
ヘロンの三角形がピタゴラスの三角形の組み合わせ以外にはないことに関しては解決しました...♪...黒翼さんに考えていただきました ^^v
ただ...どの角においても...sin,cosが有理数になるものはピタゴラスの三角形とヘロンの三角形に限られることと同値なのかはわかってませんけど...^^;...Orz~

ヤドカリ  
No title

スモークマンさん、コメントを有難う御座います。
解決したのならよかったです。

ヤドカリ  
No title

> スモークマンさんへ

> ヘロンの三角形はピタゴラスの三角形の組み合わせのものしかないと書かれているのですが
> なぜそれ以外はないと言えるのかが...わたしの質問の元なんですぅ~...^^;

検討した結果、これは間違いです。
鋭角三角形の反例を見つけました。
3辺が 15,34,35 の面積は 252 で、ヘロンの三角形ですが、
どの辺を底辺としても高さは自然数になりません。
従って、ピタゴラスの三角形の組み合わせにはなりません。
もちろん、高さを自然数にするために何倍かに拡大すれば
ピタゴラスの三角形の組み合わせになります。
自然数の3辺 a,b,c をもつ三角形で、c を底辺とするときの高さ h が自然数であれば、
c=|√( a²-h² )±√( b²-h² )| が自然数であるのは、
√( a²-h² ) も √( b²-h² ) も自然数または 0 のときだけで、
これは、ピタゴラスの三角形の組み合わせのものになります。