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[答389] 四角形の対角線の長さ

ヤドカリ

ヤドカリ



[答389] 四角形の対角線の長さ


 AB=3,BC=30,CD=16,DA=17,面積が 156 の四角形ABCDの 対角線ACの長さは?


[解答1]

 AC=x,△ABC=S,△ACD=T とすれば、27<x<33,S+T=156 になります。

 ヘロンの公式により、

 S2=(33+x)(33-x)(x+27)(x-27)/16,T2=(33+x)(33-x)(x+1)(x-1)/16 、

 x2-1089=y とおけば、S2=-y(y+360)/16,T2=-y(y+1088)/16 です。

 S+T=156 より、S2+2ST+T2=1562 、2ST=1562-S2-T2

 さらに2乗して、4S2T2=1564-2・1562(S2+T2)+(S2+T2)2

 1564-2・1562(S2+T2)+(S2-T2)2=0 、

 1564+2・1562y(2y+1448)/16+(728y/16)2=0 、

 1564+1562y(y+724)/4+(91y/2)2=0 、4・1564+1562y(y+724)+912y2=0 、

 132 で割って、4・124・132+122y(y+724)+72y2=0 、

 193y2+724・122y+676・124=0 、(y+2・122)(193y+338・122)=0 、

 y=x2-1089=-2・122,-338・122/193 、(x/3)2-121=-2・42,-338・42/193 、

 (x/3)2=121-32,121-5408/193 、x/3=√89,√(17945/193) 、

 x=3√89,3√(17945/193) になります。

 なお、1562-S2-T2≧0 の確認が必要ですが、省略します。


[解答2]

 BAの延長とCDの延長の交点をPとし、∠P=θ,PA=a,PC=b とします。

 四角形ABCDの面積は、(1/2)(a+3)b・sinθ-(1/2)a(b-16)・sinθ=156 、

 (16a+3b)sinθ=312 …… (1) です。

 △PBCで余弦定理より、2(a+3)b・cosθ=(a+3)2+b2-302

 2(ab+3b)cosθ=a2+b2+6a-891 …… (2) 、

 △PADで余弦定理より、2a(b-16)・cosθ=a2+(b-16)2-172

 2(ab-16a)cosθ=a2+b2-32b-33 …… (3) 、

 {(2)-(3)}/2 を計算して、 (16a+3b)cosθ=3a+16b-429 …… (4) 、

 (1)2+(4)2 を計算して、 (16a+3b)2=(3a+16b-429)2+3122

  (19a+19b-429)(13a-13b+429)=3122 、 (19a+19b-429)(a-b+33)=312・24 、

  (19a+19b)(a-b)+198a+1056b-14157=7488 、 (19a-19b)(a+b)=-198a-1056b+21645 …… (5) 、

 (2)より 2(ab+3b)(cosθ-1)=a2-2ab+b2+6a-6b-891=(a-b+33)(a-b-27) 、

 (3)より 2(ab-16a)(cosθ-1)=a2-2ab+b2+32a-32b-33=(a-b+33)(a-b-1) 、

  2(ab+3b)(cosθ-1)=(a-b+33)(a-b-27) 、(a-b+33)(a-b-1)=2(ab-16a)(cosθ-1) より、

  2(ab+3b)(cosθ-1)(a-b+33)(a-b-1)=2(ab-16a)(cosθ-1)(a-b+33)(a-b-27) 、

  cosθ≠1 、PB+BC>CP より a+33>b だから、 (ab+3b)(a-b-1)=(ab-16a)(a-b-27) 、

  ab(a-b)-ab+3b(a-b-1)=ab(a-b)-27ab-16a(a-b-27) 、

  16a2+13ab-3b2=432a+3b 、 (16a-3b)(a+b)=432a+3b …… (6) 、

 (6)×2-(5) を計算して、 (13a+13b)(a+b)=1062a+1062b-21645 、

  13(a+b)2-1062(a+b)+21645=0 、 (a+b-39)(13a+13b-555)=0 、a+b=39,555/13 です。

 a+b=39 のとき、(6)より、 39(16a-3b)=432a+3b 、192a=120b 、 a/5=b/8=k とおけば、

  5k+8k=39 、 k=3 、 (a,b)=(15,24) で、

 a+b=555/13 のとき、(6)より、 555(16a-3b)=13(432a+3b) 、3264a=1704b 、 a/71=b/136=k とおけば、

  71k+136k=555/13 、 k=185/897 、 (a,b)=(13135/897,25160/897) です。

 (4)より、cosθ=(3a+16b-429)/(16a+3b) だから、

 AC2=a2+b2-2ab・cosθ=a2+b2-2ab(3a+16b-429)/(16a+3b) 、

 (a,b)=(15,24) のとき、

 AC2=152+242-2・15・24(3・15+16・24-429)/(16・15+3・24)=801 、

  AC=3√89 になります。

 (a,b)=(13135/897,25160/897) のとき、

 AC2=(13135/897)2+(25160/897)2
  -2(13135/897)(25160/897)(3・13135/897+16・25160/897-429)/(16・13135/897+3・25160/897)

  ={131352+251602-2・13135・25160(3・13135+16・25160-429・897)/(16・13135+3・25160)}/8972

  =(805553825-2・13135・25160・57152/285640)/8972=(805553825-25523511680/193)/8972

  =(129948376545/193)/8972=161505/193

  AC=3√(17945/193) になります。

.

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Comments 18

There are no comments yet.
古い人  
No title

お金が成り過ぎて幸せな色ですね。

やどかりさんに綾かって幸せな夢で良いから見たいものですね。
ポチ。

黒翼  
No title

やっと読み終わりました.疑問点を指摘しますね.

解答1の2行目は156ではなく156^2だと思うのですが.
あと,解答2の25行目くらい,(4)よりのところは,
cosθ=(3a+16b-429)/(16a+3b)だと思います.

とにかく計算が大変でした.
僕は時間の都合で3√89しか答えませんでした.
方程式のもう片側を解くだけなのに,計算量に大きな違いがありますね.

解答作成は大変だったことと思います.
ポチ☆を入れておきますね.

黒翼  
No title

すみません.解答1の2行目じゃなく6行目です.

アキチャン  
No title

おはようございます。
金のなる木だけでも楽しませてくれますが、
お花が咲くと華やかでいいですね(o^-^o) ポチ♪

さっちゃんこ  
No title

見事に金の生る木に花が着いていますね
見事としか言いようがありません

優しいピンクの色が良いですね ポチ

uch*n*an  
No title

これは,計算が大変な問題でした。実際,[解答1],[解答2]ともに大変ですね。
私の解法は,どちらとも違いますが,やはり楽ではないです。
ご参考までに書いておきますね。

uch*n*an  
No title

∠ABC = α,∠CDA = β として,
3^2 + 30^2 - 2 * 3 * 30 * cosα = AC^2 = 16^2 + 17^2 - 2 * 16 * 17 * cosβ
1/2 * 3 * 30 * sinα + 1/2 * 16 * 17 * sinβ = □ABCD = 156
それぞれを簡単にして,
3 * 15 * cosα - 8 * 17 * cosβ = 91,8 * 17 * cosβ = 3 * 15 * cosα - 91
3 * 15 * sinα + 8 * 17 * sinβ = 156,8 * 17 * sinβ = 156 - 3 * 15 * sinα
ここで,-1 < cosβ < 1,0 < sinβ <= 1 より,-1 < cosα < 1,4/9 <= sinα <= 1 で,
結局,- √65/9 <= cosα <= √65/9,になります。

uch*n*an  
No title

(cosβ)^2 + (sinβ)^2 = 1 より,
(3 * 15 * cosα - 91)^2 + (156 - 3 * 15 * sinα)^2 = (8 * 17)^2
2 * 3 * 15 * 91 * cosα + 2 * 3 * 15 * 156 * sinα = 45^2 + 91^2 + 156^2 - 136^2
2 * 3 * 15 * 13 * (7 * cosα + 12 * sinα) = 16146
35 * cosα + 60 * sinα = 69
(cosα)^2 + (sinα)^2 = 1 より,
(60 * cosα)^2 + (69 - 35 * cosα)^2 = 60^2
5^2 * 193 * (cosα)^2 - 2 * 69 * 35 * cosα + 9 * 129 = 0
(5 * cosα - 3)(5 * 193 * cosα - 3 * 129) = 0
cosα = 3/5,3/5 * 129/193

uch*n*an  
No title

この二つはどちらも cosα の条件を満たします。そこで,
cosα = 3/5 のとき,cosβ = - 8/17 で,AC = 3√89 です。
cosα = 3/5 * 129/193 のとき,cosβ = - 1760/3281 で,AC = 3√(17945/193) です。
結局,AC = 3√89 又は 3√(17945/193),になります。

ニリンソウ  
No title

金のなる木の花、見事に満開ですね。
ざっくざくお金が貯まりそうな予感がします。

ポチ

こっこちゃん  
No title

(*^o^*)コ(*^_^*)ン(*^ー^*)ニ(*^ー^*)チ(*^O^*)ワーー!

念願の 金のなる木の花 ゲッとされましたね
ホットな 心地だと 思います。 ポチ

ヤドカリ  
No title

古い人さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
ネーミングが幸せを呼びますね。
こちらにも沢山めぐってきてほしいです。

ヤドカリ  
No title

黒翼さん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
タイプミスの指摘も有難う御座います。
集中力が落ちているようです。早速直しました。
仰る通り、解答の作成も大変でした。

ヤドカリ  
No title

アキチャンさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
仰る通り、花が咲くと華やかな感じがします。
でも、ネーミングの方が印象に残ります。

ヤドカリ  
No title

さっちゃんこさん、早速のコメントとポチを有難う御座います。
よく行く緑化センターの片隅においてあり、今まで気づきませんでした。
これに気づかないようではダメですね。

ヤドカリ  
No title

uch*n*anさん、早速のコメントと解答を有難う御座います。
私も一瞬、頭をよぎった解法ですが、角を2つ使うのを避けてしまいました。
角を1つで済まそうとして[解答2]になりましたが、
結局、楽には解けていないようです。
[解答1]はいちばん単純な方法ですが、計算は面倒になると覚悟して解きました。

ヤドカリ  
No title

ニリンソウさん、帰宅後の早速のコメントとポチを有難う御座います。
> ざっくざくお金が貯まりそうな予感がします。
そうだといいのですが……。

ヤドカリ  
No title

こっこちゃんさん、コメントとポチを有難う御座います。
緑化センターにはよく行くのに、片隅においてあったのを今まで気づきませんでした。
これに気づかないようではダメですね。
見落としていても、案外、身近にいいものがあるかも知れません。